Analytická funkce

Analytická funkce je funkce, kterou lze na okolí každého bodu vyjádřit jako součet mocninné řady. Pro funkci ${\displaystyle f(x)}$ to znamená na okolí bodu ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}(x-x_{0})^{i}}$,

kde ${\displaystyle x_{0}}$ je libovolný bod ${\displaystyle \mathbf {D} }$. Uvedená řada je tedy konvergentní pro všechna ${\displaystyle x}$ z okolí bodu ${\displaystyle x_{0}}$. Analytické funkce mohou být reálné, ale také komplexní.

Všechny holomorfní funkce jsou analytické.

Příklady

Analytické funkce jsou například polynomy, trigonometrické funkce, exponenciála a logaritmus na svém definičním oboru.

Příkladem analytické funkce komplexní proměnné je logaritmická funkce komplexní proměnné z. Tzv. hlavní větev logaritmu z je definována vztahem

${\displaystyle \ln _{0}z=\ln r+\mathrm {i} \varphi }$

pro ${\displaystyle r>0}$ a ${\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }$, kde ${\displaystyle z=r(\cos \varphi +\mathrm {i} \sin \varphi )}$. Tato funkce je holomorfní funkce v celé komplexní rovině s výjimkou bodu ${\displaystyle z=0}$ a bodů na záporné reálné ose, kde je nespojitá (její imaginární část má v těchto bodech skok ${\displaystyle -2\pi }$).

Vlastnosti

• Součet analytických funkcí je analytická funkce.
• Součin analytických funkcí je analytická funkce.

Literatura

• Krantz, Steven; Harold R., Parks (2002), A Primer of Real Analytic Functions (Second ed.), Birkhäuser

Související články

• Holomorfní funkce
• Funkce
• Komplexní analýza

Portály: Matematika