Relació d'equivalència

Sigui ${\displaystyle A\,}$ un conjunt qualsevol, una relació en ${\displaystyle A\,}$ és un criteri que ens permet dir si dos elements qualsevol de ${\displaystyle A\,}$ satisfan la relació o no. Una relació és relació d'equivalència si compleix les propietats reflexiva, simètrica i transitiva.^[1]

La relació d'equivalència agrupa els elements d'un conjunt amb subconjunts disjunts d'elements que tenen alguna propietat en comú, definint d'aquesta forma la noció de classe d'equivalència. I finalment això ens permet construir nous conjunts reunint tots els elements similars en un únic element. D'aquesta forma s'arriba al concepte de conjunt quocient.

Definició

Definició formal

Una relació d'equivalència ${\displaystyle \sim \,}$ en un conjunt ${\displaystyle A\,}$ és una relació que, ${\displaystyle \forall a,b,c\in A\,}$ compleix les següents propietats:

• Propietat reflexiva: ${\displaystyle a\sim a\,}$.
• Propietat simètrica: ${\displaystyle a\sim b\Longrightarrow b\sim a\,}$.
• Propietat transitiva:${\displaystyle a\sim b,b\sim c\Longrightarrow a\sim c\,}$.

Definició equivalent

Es pot dir també, que una relació d'equivalència és una relació reflexiva i circular.

Una relació és circular si: ${\displaystyle \forall a,b,c\in A,a\sim b,b\sim c\Longrightarrow c\sim a}$

Exemples

• Si definim en el conjunt ${\displaystyle \mathbb {N} }$ la següent relació: ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {N} ,a\sim b\,}$ si ${\displaystyle a\,}$ i ${\displaystyle b\,}$ són tots dos parells,o tots dos senars. Evidentment, aquesta relació defineix una relació d'equivalència en ${\displaystyle \mathbb {N} \,}$.

• Si definim en el mateix conjunt ${\displaystyle \mathbb {N} \,}$ la relació ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {N} ,a\sim b\,}$ si ${\displaystyle a<b\,}$. Evidentment, aquesta relació no és una relació d'equivalència, ja que no compleix ni la propietat reflexiva, ni la simètrica encara que compleix la propietat transitiva.

Classes d'equivalència

Article principal: Classe d'equivalència

Tota relació d'equivalència ens permet dividir el conjunt ${\displaystyle A\,}$ en subconjunts disjunts, on cada subconjunt està format per tots els elements relacionats entre ells. Cada un d'aquests subconjunts és una classe d'equivalència, generada per la relació d'equivalència ${\displaystyle \sim \,}$. La classe d'equivalència d'un element ${\displaystyle a\in A\,}$, que escriurem per ${\displaystyle \sim a\,}$ està format per: ${\displaystyle \sim a=\left\{b\in A|a\sim b\right\}\,}$, amb les següents característiques:

• ${\displaystyle \sim a\,}$ és un subconjunt de ${\displaystyle A\,}$.
• ${\displaystyle \sim a\,}$ no és buit. Com a mínim conté ${\displaystyle a\,}$.
• Inversament, ${\displaystyle \forall a\in A\,}$ pertany com a mínim a una classe d'equivalència, la seva.
• ${\displaystyle \sim a=\sim b\Longleftrightarrow b\in \sim a\,}$.
• ${\displaystyle b\notin \sim a\Longleftrightarrow (\sim a\cap \sim b)=\emptyset \,}$.

O sigui, tota relació d'equivalència en un conjunt ${\displaystyle A\,}$, defineix una partició de ${\displaystyle A\,}$.

Conjunt quocient

Definició

El conjunt quocient de ${\displaystyle A\,}$ per la relació d'equivalència ${\displaystyle \sim \,}$, que escriurem ${\displaystyle A/\sim \,}$, és el conjunt de les classes d'equivalència de ${\displaystyle A\,}$ per ${\displaystyle \sim \,}$: ${\displaystyle A/\sim =\left\{\sim a|a\in A\right\}\,}$.

Exemple

Fixem un valor ${\displaystyle m\,}$, tal que ${\displaystyle m>1\,}$ i ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} \,}$. Direm que dos nombres enters ${\displaystyle a\,}$ i ${\displaystyle b\,}$, estan relacionats si ${\displaystyle a-b\in \left(m\right)\,}$. És a dir que estem creant una relació en el conjunt ${\displaystyle \mathbb {Z} \,}$ a partir d'un valor ${\displaystyle m\,}$, de tal forma que dos elements de ${\displaystyle \mathbb {Z} \,}$ són de la mateixa classe d'equivalència si la seva divisió entera per ${\displaystyle m\,}$ té la mateixa resta.

• Evidentment és una relació d'equivalència, ja que compleix les propietats imposades.
• La classe d'equivalència de ${\displaystyle a\,}$, serà: ${\displaystyle \sim a=\left\{k\cdot m+a\right\}\,}$, ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} \,}$.
• El seu conjunt quocient estarà format per (${\displaystyle m\,}$) elements.

Aquest conjunt quocient s'acostuma a escriure per ${\displaystyle \mathbb {Z} /(m)\,}$.

Vegeu també

• Relació
• Funcions i aplicacions
• Estructura algebraica

Referències

1. Norman, C. W.. Undergraduate Algebra: A first course. Oxford University Press, 1986, p. 21-28. ISBN 0-19-853248-2.