Mètode de diferències finites

En anàlisi numèrica, el mètode de les diferències finites és un mètode utilitzat per calcular de manera aproximada les solucions a les equacions diferencials usant equacions diferencials finites per aproximar derivades.^[1]

Exemple bàsic d'equació de diferències finites en economia

Una equació senzilla en diferències finites

${\displaystyle \ Y_{t+2}-Y_{t}=0}$

La solució s'assaja per tempteig o aproximació

${\displaystyle \ Y_{t+2}=r^{2}}$

${\displaystyle \ Y_{t}=r}$

Substituint en l'equació inicial

${\displaystyle \ R(r-1)=0\rightarrow r=1;r=0}$

La solució serà

${\displaystyle \ Y_{t}=1^{t}}$

Resolem ${\displaystyle i_{t+2}}$

${\displaystyle \ Y_{t+2}=1^{t+2}=1^{t}1^{2}}$

Comprovem si la solució és correcta

${\displaystyle \ 1^{t}-1^{t}=0}$

Escrivim la solució general

${\displaystyle \ Y_{t}=c_{1}1^{t}}$

${\displaystyle c_{1}}$ expressa una combinació lineal de la solució
Si analitzem el Wronskià de solucions particulars obtindrem per t = 0 i t = 1

${\displaystyle A(0,1)={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\\\end{bmatrix}}=1-1=0}$

Si el Wronskià és zero, no podem determinar una solució correcta.
El mètode per resoldre

${\displaystyle \ Y''-i'=0}$

és idèntic però la solució general s'escriu en funció del nombre e.

Referències

1. «Metodo de las Diferencias Finitas y su ´ Aplicacion a Problemas de Electrost ´ atica» (en español), 2004. Arxivat de l'original el 2018-02-19. [Consulta: 6 novembre 2019].

Bibliografia

• K.W. Morton i D.F. Mayers, Numerical Solution of Partial Differential Equations, An Introduction . Cambridge University Press, 2005.
• Oliver Rübenkönig, The Finite Difference Method (FDM) - An introduction] , (2006), Albert Ludwigs Universitat de Friburg
• Autar Kaw i E. Eric Kalu (2008) Numerical Methods with Applications

Enllaços externs

Recursos sobre el mètode de les diferències finites per PDES]

• Finite Difference Method of Solving ODE (Boundary Value Problems) Notes, PPT, Maple, Mathcad, Matlab, Mathematica