Mecànica estadística

La mecànica estadística (o termodinàmica estadística)[1] és la branca de la física i la química que fent servir la teoria de la probabilitat, adreça l'estudi termodinàmic de sistemes formats per un gran nombre de partícules.

La mecànica estadística mitjançant tècniques estadístiques, que inclou eines matemàtiques per al tractament d'un gran nombre de partícules, és capaç de deduir el comportament dels sistemes físics macroscòpics a partir de certes hipòtesis sobre els elements o partícules que conformen aquests sistemes. D'aquesta manera la mecànica estadística aconsegueix explicar la termodinàmica partint de les teories clàssiques i quàntiques de l'estàtica i la mecànica a nivell microscòpic.

Els sistemes macroscòpics són aquells que tenen un nombre de partícules semblant al nombre d'Avogadro, el valor del qual és aproximadament igual a 1023 és grandíssim, per la qual cosa la mida de tals sistemes sol ser fàcilment concebible per l'ésser humà, encara que la mida de cada partícula constituent sigui d'escala atòmica. Un exemple de sistema macroscòpic és un got d'aigua. La importància de l'ús de les tècniques estadístiques per estudiar aquests sistemes rau en el fet que en ser sistemes tan grans és impossible, fins i tot pels ordinadors més potents, portar un registre de l'estat físic de cada partícula i predir el comportament del sistema mitjançant les lleis de la mecànica, a més de ser impracticable conèixer tanta informació d'un sistema real.

La mecànica estadística proporciona una interpretació a nivell molecular de quantitats termodinàmiques definides inicialment a nivell macroscòpic (com per exemple, el treball, la calor, l'energia lliure i l'entropia). Permet relacionar les propietats termodinàmiques a nivell macròscopic dels materials amb la informació espectroscòpica de molècules individuals. El principal avantatge de la mecànica estadística respecte de la termodinàmica clàssica és l'habilitat de fer prediccions basant-se en les propietats microscòpiques de la matèria. Ambdues teories es basen en un mateix principi, el segon principi de la termodinàmica, per mitjà de l'entropia. Tanmateix, en la termodinàmica l'entropia només es pot determinar empíricament mentre que en la mecànica estadística l'entropia és una funció de la distribució dels microestats del sistema.

El física austríac Ludwig Boltzmann va ser qui el 1870 va iniciar l'estudi de la mecànica estadística en els seus treballs, molts dels quals van ser publicats el 1896 en la seva obra sobre la teoria de gasos.[2] Els papers originals de Boltzmann sobre la interpretació estadística de la termodinàmica, el teorema H, la teoria dels fenòmens de transport, l'equilibri tèrmic, l'equació d'estat dels gasos així com altres temes similar ocupen unes 2000 pàgines en els simposis de l'Acadèmia de Viena i d'altres societats. El químic nord-americà J. Willard Gibbs va proposar el nom de “termodinàmica estadística” tenint en compte l'ús de l'estadística que fa aquesta branca de la física per explicar fenòmens termodinàmics. El físic escocès James Clerk Maxwell va ser qui, segons Gibbs, va fer servir per primera vegada el 1871 el nom de “mecànica estadística”.[3]

Visió general

El problema principal en la mecànica estadística és com calcular la distribució d'una donada quantitat d'energia E entre les N partícules idèntiques d'un sistema.[4] L'objectiu és poder entendre i interpretar les propietats macroscòpiques mesurables dels materials en funció de les propietats de les seves partícules constituents i de les interaccions entre ells. Això s'aconsegueix lligant les funcions termodinàmiques a equacions de la mecànica quàntica. Les dues quantitats principals en la mecànica estadística són el factor de Boltzmann i la funció de partició.

Fonaments

Els temes més importants tractats per la mecànica estadística són:

Per acabar, i més important, l'entropia estadística, és a dir, la definició formal de l'entropia d'un sistema termodinàmic des de la perspectiva estadística. Està definida com:

on kB és la constant de Boltzmann 1.38066×10−23 J K−1 i Ω és el nombre de microestats corresponents al macroestat termodinàmic observat.

Aquesta equació només és vàlida si cada microestat és igualment accessible, és a dir, si cada microestat té la mateixa probabilitat d'ocórrer.

Distribució de Boltzmann

Si el sistema és prou gran es pot fer servir la distribució de Boltzmann perquè s'aproxima bastant al resultat correcte.

on ni representa el nombre de partícules que ocupen un nivell i o el nombre de possibles microestats corresponents a un macroestat i; Ui representa l'energia del nivell i; T és la temperatura; i kB és la constant de Boltzmann.

Si N és el nombre total de partícules o estats, la distribució de densitats de probabilitat serà:

on la suma en el denominador és sobre tots els possibles nivells.

Principis: mecànica i conjunts

En física, normalment s'examinen dos tipus de mecànica: la mecànica clàssica i la mecànica quàntica. Per als dos tipus de mecànica, l'enfocament matemàtic estàndard és considerar dos conceptes:

Amb aquests dos conceptes, en principi es pot calcular l'estat en qualsevol altre moment, passat o futur. Hi ha, però, una desconnexió entre aquestes lleis i les experiències de la vida quotidiana, ja que no ens sembla necessari (ni tan sols teòricament possible) conèixer exactament a nivell microscòpic les posicions i velocitats simultànies de cada molècula mentre es duen a terme processos a escala humana (per exemple, quan es realitza una reacció química). La mecànica estadística omple aquesta desconnexió entre les lleis de la mecànica i l'experiència pràctica del coneixement incomplet, afegint certa incertesa sobre en quin estat es troba el sistema.

Mentre que la mecànica ordinària només considera el comportament d'un sol estat, la mecànica estadística introdueix el conjunt estadístic, que és una gran col·lecció de còpies virtuals i independents del sistema en diversos estats. El conjunt estadístic és una distribució de probabilitat sobre tots els estats possibles del sistema. En la mecànica estadística clàssica, el conjunt és una distribució de probabilitat sobre punts de fase (a diferència d'un punt de fase únic en mecànica ordinària), normalment representada com una distribució en un espai de fases amb coordenades canòniques eixos. En mecànica estadística quàntica, el conjunt és una distribució de probabilitat sobre estats purs,[nota 1] i es pot resumir de manera compacta com una matriu de densitat.

Com és habitual amb les probabilitats, el conjunt es pot interpretar de diferents maneres:[5]

  • es pot prendre un conjunt per representar els diferents estats possibles en què podria estar un "sistema únic" (probabilitat epistèmica, una forma de coneixement), o
  • els membres del conjunt es poden entendre com els estats dels sistemes en experiments repetits sobre sistemes independents que s'han preparat de manera similar però imperfectament controlada (probabilitat empírica), en el límit d'un nombre infinit d'assaigs.

Aquests dos significats són equivalents per a molts propòsits i s'utilitzaran de manera intercanviable en aquest article.

Com sigui que s'interpreti la probabilitat, cada estat del conjunt evoluciona al llarg del temps segons l'equació del moviment. Així, el conjunt mateix (la distribució de probabilitat entre estats) també evoluciona, ja que els sistemes virtuals del conjunt surten contínuament d'un estat i entren en un altre. L'evolució del conjunt ve donada per l'equació de Liouville (mecànica clàssica) o l'equació de von Neumann (mecànica quàntica). Aquestes equacions es deriven simplement mitjançant l'aplicació de l'equació mecànica del moviment per separat a cada sistema virtual contingut en el conjunt, amb la probabilitat que el sistema virtual es conservi al llarg del temps a mesura que evoluciona d'estat a estat.

Una classe especial de conjunt són aquells conjunts que no evolucionen amb el temps. Aquests conjunts es coneixen com a conjunts d'equilibri i la seva condició es coneix com a equilibri estadístic. L'equilibri estadístic es produeix si, per a cada estat del conjunt, el conjunt també conté tots els seus estats futurs i passats amb probabilitats iguals a la probabilitat d'estar en aquest estat.[nota 2] L'estudi dels conjunts d'equilibri de sistemes aïllats és el focus de la termodinàmica estadística. La mecànica estadística de no equilibri aborda el cas més general dels conjunts que canvien amb el temps i/o conjunts de sistemes no aïllats.

Història

El 1738, el físic i matemàtic suís Daniel Bernoulli va desenvolupar les bases de la teoria cinètica de gasos. En la seva obra, Bernoulli suggeria que els gasos estan formats per un gran nombre de molècules movent-se en totes direccions, que l'impacte sobre una superfície d'aquestes molècules provoca la pressió que hom sent, i que el que sentim com a calor és simplement l'energia cinètica del moviment d'aquestes partícules.

El 1859, en haver-se assabentat del treball elaborat per Rudolf Clausius sobre la difusió de molècules, el físic escocès James Clerk Maxwell va formular la distribució de Maxwell de les velocitats moleculars, la qual dona com a resultat la proporció de molècules que tenen una determinada velocitat dins d'un rang específic. Aquesta es pot considerar la primera llei estadística de la física.[6] Cinc anys més tard, el 1864, a Ludwig Boltzmann, un jove estudiant austriac, li van arribar els treballs de Maxwell i li vas inspirar tant que va dedicar gran part de la seva vida al desenvolupament d'aquesta matèria.

Així doncs, a finals del segle xix ja s'havien descrit els fonaments de la mecànica estadística gràcies a les contribucions de físics com Maxwell, Boltzmann, Max Planck, Clausius i Josiah Willard Gibbs, qui va començar a aplicar l'estadística i la teoria atòmica quàntica als gasos ideals. Van ser Maxwell i Boltzman, treballant independentment, qui predominantment van aconseguir conclusions similars a la natura estadística dels gasos. Tot i això, hom considera Boltzmann el pare de la mecànica estadística. Ell va ser qui va desenvolupar el 1875 la relació entre l'entropia S i la multiplicitat Ω, el nombre de distribucions microscòpiques (microestats) possibles que originen un mateix estat macroscòpic (macroestat) per a un sistema en particular.[7]

Postulat fonamental

El postulat fonamental de la mecànica estadística (també conegut com el postulat d'equiprobabilitat a priori) és el següent:

Si un sistema aïllat es troba en equilibri, hi ha la mateixa probabilitat de trobar-lo en qualsevol dels seus microestats accessibles.

Aquest postulat és una assumpció fonamental en la mecànica estadística perquè afirma que un sistema en equilibri no té preferència per cap dels seus microestats disponibles. Donats Ω microestats d'un sistema amb una determinada energia, la probabilitat de trobar el sistema en un determinat microestat és p = 1/Ω.

Aquest postulat és necessari perquè permet concloure que per a un sistema en equilibri, l'estat termodinàmic (macroestat) que resultaria del major nombre de microestats és també el macroestat més probable del sistema.

El postulat queda justificat en part, per a sistemes clàssics, pel teorema de Liouville, el qual especifica que si la distribució dels punts d'un sistema al voltant de l'espai de les fases és uniforme en un temps determinat, roman així per a temps futurs.

El mecanisme de balanç detallat proporciona una justificació similar per a un sistema discret.

Això apareix també en la definició de la funció d'informació (en el context de la teoria de la informació):

Quan totes les probabilitats ρi són iguals, I és màxima i tindrem el mínim possible d'informació sobre el sistema. La funció és mínima quan la informació és màxima (per exemple, quan només una ρ és igual a 1 i la resta a 0, és a dir, quan sabem l'estat en què el sistema està).

Aquesta funció de la informació és la mateixa que la funció entròpica reduïda en la termodinàmica.

Col·lectivitats estadístiques

La formulació moderna de la mecànica estadística està basada en la descripció d'un sistema físics mitjançant una col·lectivitat que representi totes les possibles configuracions del sistema i les probabilitats de presentar cada configuració.

Cada col·lectivitat està associada a una funció de partició, de la qual, mitjançant manipulacions matemàtiques, se'n poden extraure valors de les propietats termodinàmiques del sistema. En funció de la relació del sistema amb la resta de l'univers, es fa servir una o altra de les tres classes de col·lectivitats. Ordenades segons la complexitat, les tres col·lectivitats són:

  • Col·lectivitat microcanònica: descriu un sistema totalment aïllat, amb energia constant i sense intercanvi d'energia o massa amb la resta de l'univers.
  • Col·lectivitat canònica: descriu un sistema en equilibri tèrmic amb el medi que només pot intercanviar energia en forma de calor amb l'exterior.
  • Col·lectivitat macrocanònica: s'empra en sistemes oberts que poden intercanviar energia i massa amb l'exterior.
Resum de col·lectivitats Col·lectivitats
Microcanònica Canònica Macrocanònica
Variables fixes E, N, V T, N, V T, μ, V
Característiques microscòpiques

Nombre de microestats

Funció de partició canònica

Funció de partició macrocanònica

Funció macroscòpica

Notes

  1. Les probabilitats en mecànica estadística quàntica no s'han de confondre amb superposició quàntica. Tot i que un conjunt quàntic pot contenir estats amb superposicions quàntiques, un sol estat quàntic no es pot utilitzar per representar un conjunt.
  2. L'equilibri estadístic no s'ha de confondre amb equilibri mecànic. Aquest últim es produeix quan un sistema mecànic ha deixat completament d'evolucionar fins i tot a escala microscòpica, pel fet d'estar en un estat amb un perfecte equilibri de forces. L'equilibri estadístic implica generalment estats que estan molt allunyats de l'equilibri mecànic.

Referències

  1. Els termes mecànica estadística i termodinàmica estadística es fan servir de manera intercanviable. Física estadística és un terme més ampli que inclou la mecànica estadística, però de vegades s'usa també com a sinònim de mecànica estadística
  2. Ebeling, Werner; Sokolov, Igor M. Statistical Thermodynamics and Stochastic Theory of Nonequilibrium Systems. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2005, p. 3–12. ISBN 978-90-277-1674-3.  (section 1.2)
  3. Mayants, Lazar. The enigma of probability and physics. Springer, 1984, p. 174. ISBN 978-90-277-1674-3. 
  4. Schrodinger, Erwin. Statistical Thermodynamics. Dover Publications, Inc., 1946. ISBN 0-486-66101-6. OCLC 20056858. 
  5. Gibbs, Josiah Willard. Elementary Principles in Statistical Mechanics. Nova York: Charles Scribner's Sons, 1902. 
  6. Mahon, Basil. The Man Who Changed Everything – the Life of James Clerk Maxwell. Hoboken, NJ: Wiley, 2003. ISBN 0-470-86171-1. OCLC 52358254 62045217. 
  7. Perrot, Pierre. A to Z of Thermodynamics. Oxford University Press, 1998. ISBN 0-19-856552-6. OCLC 123283342 38073404. 

Vegeu també

Read other articles:

Niclas Huschenbeth, 2021 Niclas Huschenbeth (lahir 29 Februari 1992 di Hann. Münden) adalah seorang grandmaster catur Jerman (2012) dan juara Jerman pada 2008.[1] Ia bertanding dalam Olimpiade Catur 2008 dan 2010.[2] Karier catur Huschenbeth pertama kali bertanding di 2011.[3] Ia mencapai tempat ketiga dalam Pertandingan Catur Nasional 2013 di Philadelphia.[4] Rujukan ^ 81st German Championship 2010. ^ Men's Chess Olympiads: Niclas Huschenbeth. ^ HSK Grossmeis...

 

Chiesa di Sant'AnnaEsternoStato Israele Palestina[1] DistrettoDistretto di Gerusalemme LocalitàGerusalemme Coordinate31°46′53.04″N 35°14′11.21″E / 31.7814°N 35.236447°E31.7814; 35.236447Coordinate: 31°46′53.04″N 35°14′11.21″E / 31.7814°N 35.236447°E31.7814; 35.236447 ReligioneCattolica TitolareSant'Anna Patriarcato Gerusalemme dei Latini Stile architettonicoromanico CompletamentoXII secolo Sito webperesblancs.org/ste_a...

 

الناس في كفر عسكر البلد مصر  تعديل مصدري - تعديل   الناس في كفر عسكر مسلسل دراما مصري من تأليف أحمد الشيخ وإخراج نادر جلال.[1] القصة تدور أحداث المسلسل في كفر عسكر حيث تعيش عائلتين بينهما صراع كبير حول الأرض والأصل والجذور والسلطة، الأولى عائلة (عوف) والتي هي صاحبة ال...

Se ha sugerido que «Propergol líquido» sea fusionado en este artículo o sección. Motivo: los argumentos están expuestos en la página de discusión.Una vez que hayas realizado la fusión de artículos, pide la fusión de historiales aquí.Este aviso fue puesto el 25 de octubre de 2019. Los cohetes químicos de impulsos específicos más altos (cohetes de propulsores líquido) utilizan propelentes de combustible líquido . Aproximadamente 170 propulsores líquidos diferentes han sido som...

 

Federal government of Canada Government of CanadaGouvernement du CanadaConstitutional monarchyCoat of arms of CanadaFormation1 July 1867; 156 years ago (1867-07-01)Founding documentConstitution Act, 1867CountryCanadaWebsitewww.canada.caCrownHead of state (sovereign)MonarchVice-regal representativeGovernor GeneralSeatRideau HallLegislative(King-in-Parliament)LegislatureParliament House of CommonsSenateMeeting placeHouse of Commons: West Block[1]Senate: Senate of Canad...

 

Chess piece White queenBlack queen The queen (♕, ♛) is the most powerful piece in the game of chess. It can move any number of squares vertically, horizontally or diagonally, combining the powers of the rook and bishop. Each player starts the game with one queen, placed in the middle of the first rank next to the king. Because the queen is the strongest piece, a pawn is promoted to a queen in the vast majority of cases. The predecessor to the queen is the ferz, a weak piece only able to m...

Tượng đài Khát Vọng Thống Nhất Non Sông Tượng đài Giao bưu Dốc Miếu Thành cổ Quảng Trị Du lịch Quảng Trị là tên gọi chỉ chung về các ngành, nghề kinh doanh và các dịch vụ liên quan về việc quảng bá, khai thác tiềm năng du lịch tại tỉnh Quảng Trị. Đây được coi là một ngành nghề đầy tiềm năng của tỉnh, hứa hẹn có nhiều đóng góp vào ngân sách địa phương cũng như việc quảng b...

 

Obóz Narodowo-RadykalnyNationaal-Radicaal Kamp Geschiedenis Opgericht 14 april 19341935 Opheffing 10 juli 1934Ca. 1939 Algemene gegevens Actief in Polen Hoofdkantoor Warschau] Aantal leden 3.0000 Richting Extreemrechts Ideologie FascismeNationalismeNationaal-conservatismeIrredentismeAnticommunismeAnti-LiberalismeAntisemitisme Kleuren ​ Groen Vlag Portaal    Politiek Het Nationaal-Radicaal Kamp (Pools: Obóz Narodowo-Radykalny, ONR) was een nationalistische, fascistische en an...

 

2019 Indian TV series Not to be confused with Pillai Nila (TV series). NilaGenreSoap operaWritten by K.Anand Samyuktha (1-45) K.Sudhakar Samyuktha (46-288) R.Arvindraj (289-489) Directed by Shiva.K A.B.Nakeeran Creative directors Sudhakar Pallamala manjula Naidu Starring Bavithra Hemanth Sharmitha Gowda Theme music composer Ganesh Raghavendra Opening themeParu Para Para Paravaiye En Siragai Vaangi KonduRita Thyagarajan (singer)Mano Pazhanisamy (lyrics)Country of originIndiaOriginal languageTa...

1177 peace treaty between the Lombard League and Holy Roman Empire This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (April 2013) (Learn how and when to remove this template message) Fresco in Palazzo Pubblico, Siena depicting the submission of the emperor to the Pope The Treaty or Peace of Venice, 1177, was a peace treaty between the papacy and its allies, the ...

 

English electronic music group Clean BanditClean Bandit in 2016Background informationOriginCambridge, EnglandGenresElectronicclassical crossoverelectropopdance-popYears active2008–presentLabelsAtlanticBlack ButterMembers Grace Chatto Jack Patterson Luke Patterson Past members Ssegawa-Ssekintu Kiwanuka[1] Neil Amin-Smith[2] Websitecleanbandit.co.uk Clean Bandit are an English electronic music group, formed in Cambridge in 2008. They have had four number 1 hits and ten top 10 ...

 

Inequality applying to probability spaces This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (February 2012) (Learn how and when to remove this template message) Part of a series on statisticsProbability theory Probability Axioms Determinism System Indeterminism Randomness Probability space Sample space Event Collectively exhaustive events Elementary event Mutual...

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala. Pemilihan Gubernur Sumatera Utara 19881983199309 Mei 1988 (1988-05-09)Kehadiran pemilih97.8%Kandidat   Calon Raja Inal Siregar Muhammad Abduh Pane Benhard Mangatur Silitonga Suara elektoral 36 5 4 Sunting kotak info • L • BBantuan penggunaan templat ini Pemil...

 

1965 studio album by Illinois JacquetSpectrumStudio album by Illinois JacquetReleased1965RecordedApril 29 & 30, 1965RCA Recording Studio, New York CityGenreJazzLabelArgo / Cadet LP-754ProducerEsmond EdwardsIllinois Jacquet chronology Bosses of the Ballad(1964) Spectrum(1965) Go Power!(1966) Spectrum is an album by saxophonist Illinois Jacquet recorded in 1965 and originally released on the Argo label.[1] The album was one of the last to be released on Argo before Chess Rec...

 

2009 studio album by Lisa GermanoMagic NeighborStudio album by Lisa GermanoReleasedSeptember 22, 2009LabelYoung God Records[1]ProducerJamie CandiloroLisa Germano chronology In the Maybe World(2006) Magic Neighbor(2009) No Elephants(2013) Professional ratingsReview scoresSourceRatingAllMusic[2]Pitchfork7.3/10[3]PopMatters[4] Magic Neighbor is an album by musician Lisa Germano.[5] It was released in 2009 through Young God Records.[6] It pe...

This is an alphabetical listing of notable mosques in the United States (Arabic: Masjid, Spanish: Mezquita), including Islamic places of worship that do not qualify as traditional mosques. History of mosques in the United States Number of Mosques per Million residents in each U.S. state and the District of Columbia as of 2020 A mosque, also called masjid in Arabic, is defined as any place that Muslims pray facing Mecca, not necessarily a building. By that meaning, there were mosques in the Un...

 

Russian ice dancer This biography of a living person needs additional citations for verification. Please help by adding reliable sources. Contentious material about living persons that is unsourced or poorly sourced must be removed immediately from the article and its talk page, especially if potentially libelous.Find sources: Valeriy Angelopol – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (August 2023) (Learn how and when to remove this template messa...

 

Cuban writer, feminist and activist Lesbia SoravillaBornLesbia Soravilla(1906-05-22)22 May 1906Camagüey, CubaDiedJanuary 1989 (aged 82)OccupationWriterLanguageSpanishPeriod1920s and 1930sGenrePoetry, novelsLiterary movementFeminist Lesbia Soravilla (22 May 1906 – January 1989[1]) was a Cuban writer, feminist and activist, prominent in the feminist movement of the 1920s and 1930s.[2] Her work, including poetry and novels, dealt with feminist issues. Her novels include El dol...

Benkt-Åke BenktssonLahir(1907-01-06)6 Januari 1907Halmstad, SwediaMeninggal8 Januari 1957(1957-01-08) (umur 50)Malmö, SwediaPekerjaanPemeranTahun aktif1926-1957 Benkt-Åke Benktsson (6 Januari 1907 – 8 Januari 1957) adalah seorang pemeran film asal Swedia.[1] Ia lahir di Halmstad, Swedia dan meninggal di Malmö, Swedia. Referensi ^ Benkt-Åke Benktsson. Swedish Film Database. Diarsipkan dari versi asli tanggal 8 October 2012. Diakses tanggal 6 February 201...

 

India-related events during the year of 1876 ← 1875 1874 1873 1876 in India → 1877 1878 1879 Centuries: 17th 18th 19th 20th 21st Decades: 1850s 1860s 1870s 1880s 1890s See also:List of years in IndiaTimeline of Indian history Events in the year 1876 in India. Incumbents Thomas Baring, 1st Earl of Northbrook, Viceroy[1] Robert Bulwer-Lytton, 1st Earl of Lytton, Viceroy (from 12 April)[2] Events National income - ₹3,887 million Queen Victoria is proclaimed Empress ...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!