Funció q-gamma

En matemàtiques, en la teoria q-anàleg, la funció q-gamma, o funció gamma bàsica, és una generalització de la funció gamma ordinària, i està molt estretament relacionada amb la funció gamma doble. Aquesta va ser introduïda per Jackson (1905),

Es defineix com

${\displaystyle \Gamma _{q}(x)=(1-q)^{1-x}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-q^{n+1}}{1-q^{n+x}}}=(1-q)^{1-x}\,{\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}}$

quan ${\displaystyle |q|<1}$, i

${\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(q^{-1};q^{-1})_{\infty }}{(q^{-x};q^{-1})_{\infty }}}(q-1)^{1-x}q^{\binom {x}{2}}}$

si ${\displaystyle |q|>1}$. Aquest (·;·)_∞ és el símbol q-Pochhammer infinit. Satisfà l'equació funcional

${\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)={\frac {1-q^{x}}{1-q}}\Gamma _{q}(x)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}$

Per a enters no negatius n,

${\displaystyle \Gamma _{q}(n)=[n-1]_{q}!}$

on [·]_q ! és la funció q-factorial. Alternativament, això pot ser pres com una extensió de la funció q-factorial per al sistema de nombres reals.

La relació amb la funció gamma ordinària es fa explícita en el límit

${\displaystyle \lim _{q\to 1\pm }\Gamma _{q}(x)=\Gamma (x).}$

Fórmules tipus Raabe

A causa de I. Mező, existeix el q-anàleg de la fórmula Raabe, almenys si s'utilitza la funció de q-gamma quan ${\displaystyle |q|>1}$. Amb aquesta restricció

${\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma _{q}(x)dx={\frac {\zeta (2)}{\log q}}+\log {\sqrt {\frac {q-1}{\sqrt[{6}]{q}}}}+\log(q^{-1};q^{-1})_{\infty }\quad (q>1).}$

El Bachraoui considera el cas ${\displaystyle 0<q<1}$ i ha demostrat que

${\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma _{q}(x)dx={\frac {1}{2}}\log(1-q)-{\frac {\zeta (2)}{\log q}}+\log(q;q)_{\infty }\quad (0<q<1).}$

Valors especials

Són coneguts els següents valors especials:

${\displaystyle \Gamma _{e^{-\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /16}{\sqrt {e^{\pi }-1}}}{2^{11/12}\pi ^{3/4}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {2}}-1}}{\sqrt[{24}]{4+3{\sqrt {2}}}}}}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),}$

${\displaystyle \Gamma _{e^{-2\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /8}{\sqrt {e^{2\pi }-1}}}{2{\sqrt[{8}]{2}}\pi ^{3/4}}}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),}$

${\displaystyle \Gamma _{e^{-4\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /4}{\sqrt {e^{4\pi }-1}}}{2^{7/4}\pi ^{3/4}}}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),}$

${\displaystyle \Gamma _{e^{-8\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /2}{\sqrt {\left({\sqrt {2}}-1\right)\left(e^{8\pi }-1\right)}}}{4{\sqrt[{4}]{2}}\pi ^{3/4}}}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right).}$

Aquests són els anàlegs de la fórmula clàssica ${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$.

D'altra banda, els següents anàlegs de la identitat familiaritzada ${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)={\sqrt {2}}\pi }$ són certs:

${\displaystyle \Gamma _{e^{-2\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{e^{-2\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {e^{-29\pi /16}\left(e^{2\pi }-1\right)\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{4\pi ^{3/2}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {2}}-1}}{\sqrt[{24}]{8+6{\sqrt {2}}}}}},}$

${\displaystyle \Gamma _{e^{-4\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{e^{-4\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {e^{-29\pi /8}\left(e^{4\pi }-1\right)\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{2^{23/8}\pi ^{3/2}}},}$

${\displaystyle \Gamma _{e^{-8\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{e^{-8\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}e^{-29\pi /4}\left(e^{8\pi }-1\right)\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{16\pi ^{3/2}}}.}$

Un q-anàleg de la fórmula de Stirling per a ${\displaystyle |q|<1}$ està donada per

${\displaystyle \Gamma _{q}(x)=[2]_{q^{\ }}^{\frac {1}{2}}\Gamma _{q^{2}}\left({\frac {1}{2}}\right)(1-q)^{{\frac {1}{2}}-x}e^{\frac {\theta q^{x}}{1-q-q^{x}}},\quad 0<\theta <1.}$

Un q-anàleg de la fórmula de multiplicació per a ${\displaystyle |q|<1}$ està donada per

${\displaystyle \Gamma _{q^{n}}\left({\frac {x}{n}}\right)\Gamma _{q^{n}}\left({\frac {x+1}{n}}\right)\cdots \Gamma _{q^{n}}\left({\frac {x+n-1}{n}}\right)=[n]_{q}^{{\frac {1}{2}}-x}\left([2]_{q}\Gamma _{q^{2}}^{2}\left({\frac {1}{2}}\right)\right)^{\frac {n-1}{2}}\Gamma _{q}(x).}$

Referències

• Jackson, F. H. «The Basic Gamma-Function and the Elliptic Functions». Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. The Royal Society, 76, 508, 1905, p. 127–144. DOI: 10.1098/rspa.1905.0011. ISSN: 0950-1207.
• Gasper, George; Rahman, Mizan. Basic hypergeometric series. 96. 2a edició. Cambridge University Press, 2004. ISBN 978-0-521-83357-8. 
• Mansour, M «An asymptotic expansion of the q-gamma function Γq(x)». Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 13, 2006, p. 479–483. DOI: 10.2991/jnmp.2006.13.4.2.[1]
• Mező, István «A q-Raabe formula and an integral of the fourth Jacobi theta function». Journal of Number Theory, 133, 2, 2012, p. 692–704. DOI: 10.1016/j.jnt.2012.08.025.