Funció analítica

Una funció analítica és una funció que pot ser expressada localment com una sèrie de potències enteres convergent. En anàlisi complexa, les funcions holomorfes són analítiques.

Definició

Formalment, la funció f és analítica sobre un conjunt obert D en la línia real si per cada x₀ a D es pot escriure f (x) com

${\displaystyle f(x)\,}$	${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}}$
	${\displaystyle =a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+\cdots }$

on els coeficients a₀, a₁, ... són nombres reals i la sèrie és convergent en un veïnat de x₀.

Alternativament, una funció analítica és una funció contínuament diferenciable (smooth function), és a dir, una funció infinitament derivable com la sèrie de Taylor, que en cada punt x₀ pertanyent al domini

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$

convergeix a ƒ(x) per x en un veïnat de x₀. El conjunt de totes les funcions analítiques reals pertanyents a un conjunt donat D es denota generalment com C^ω(D).

Una funció ƒ definida en un subconjunt qualsevol de la recta real, serà analítica real al punt x si existeix un veïnat D de x al que ƒ és analítica real.

La definició de funció analítica complexa es pot obtenir substituint real amb complexa. Les funcions analítiques complexes es tracten a l'article dedicat a les funcions holomorfes.

Referències

• John B. Conway, John B. Functions of One Complex Variable I (Graduate Texts in Mathematics 11). Springer-Verlag, 1978. ISBN 0-387-90328-3. 

Vegeu també

• Equacions de Cauchy-Riemann
• Funció holomorfa