Funció de Mertens

La funció de Mertens, en honor del matemàtic Franz Mertens (1840-1927), es defineix com

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)}$

on μ(k) és la funció de Möbius. És a dir, és la suma acumulativa dels n primers valors de la funció de Möbius. Com els valors de la funció de Möbius són sempre -1, 0 o 1, és clar que la funció de Mertens creix lentament i no existeix cap x tal que M(x) > x. La conjectura de Mertens és més restrictiva, i afirma que no existeix cap x tal que |M(x)| sigui superior a l'arrel quadrada de x. Aquesta conjectura fou negada el 1985. Nogensmenys, la hipòtesi de Riemann, és equivalent a una versió més feble de la conjectura:

${\displaystyle M(x)=o(x^{{\frac {1}{2}}+\epsilon })}$

La funció de Mertens és molt útil en teoria de nombres i té una relació molt directa amb la funció zeta de Riemann (i amb la localització de les seves arrels no trivials):

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

A continuació presentem alguns valors de la funció de Mertens

n	M(n)
1	1
2	0
3	–1
4	–1
10	–1
1.000	2
2.000	5
9.000	1
10.000	–23
10⁶	212
10^7	1.037