La funció de Möbius μ(n ) és una funció matemàtica d'especial importància en teoria de nombres i combinatòria . Rep el seu nom d'August Ferdinand Möbius , qui la introduí el 1832.[ 1]
Möbius, A. F. (1832), "Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 9: 105–123
Es defineix, per a tot nombre natural n , de la següent forma:[ 2]
μ(n ) = 1 si n té un nombre parell de factors primers diferents,
μ(n ) = –1 si n té un nombre senar de factors primers diferents,
μ(n ) = 0 si n té algun factor primer repetit.
Com a cas especial, es defineix μ(1) = 1. A continuació es mostren els primers 50 valors de la funció (successió A008683 a l'OEIS )
Els 50 primers valors de la funció de Möbius La funció té gran rellevància en la teoria de les funcions multiplicatives i aritmètiques , ja que apareix en la fórmula d'inversió de Möbius. Altres aplicacions de μ(n ) en combinatòria estan relacionades amb l'ús del teorema de Polya en grups combinatoris. En teoria de nombres, la funció de Mertens M (s ) està emparentada amb la funció de Möbius, i es defineix com la suma dels n primers valors de μ(n ).
La funció de Möbius és muliplicativa , i per tant la sèrie formal de Dirichlet associada té un producte d'Euler :
M
(
s
)
=
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
μ μ -->
(
n
)
n
− − -->
s
=
∏ ∏ -->
p
∈ ∈ -->
P
(
1
− − -->
p
− − -->
s
)
{\displaystyle M(s)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)n^{-s}=\prod _{p\in {\mathcal {P}}}(1-p^{-s})}
La comparació amb la funció zeta demostra que almenys formalment
M
(
s
)
=
1
ζ ζ -->
(
s
)
{\displaystyle M(s)={\frac {1}{\zeta (s)}}}
Considerem f una funció aritmètica i F (s ) la corresponent sèrie formal de Dirichlet .
La convolució de Dirichlet
g
(
n
)
=
∑ ∑ -->
d
|
n
f
(
d
)
{\displaystyle g(n)=\sum _{d|n}f(d)}
G
(
s
)
=
F
(
s
)
ζ ζ -->
(
s
)
=
F
(
s
)
M
(
s
)
{\displaystyle G(s)=F(s)\zeta (s)={\frac {F(s)}{M(s)}}}
A partir d'aquí es pot obtenir la fórmula d'inversió de Möbius ,[ 3]
f
(
n
)
=
∑ ∑ -->
d
|
n
μ μ -->
(
d
)
g
(
n
/
d
)
{\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)g(n/d)}
Una propietat especial de la fórmula d'inversió de Möbius és que
∑ ∑ -->
d
|
n
μ μ -->
(
d
)
{\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)}
n =1 i 0 quan n >1.
Conjectura de Mertens
Segons la conjectura de Mertens , es compliria la següent funció sumatòria :
∑ ∑ -->
n
≤ ≤ -->
x
μ μ -->
(
n
)
≤ ≤ -->
x
{\displaystyle \sum _{n\leq x}\mu (n)\leq {\sqrt {x}}}
Això hagués implicat que la hipòtesi de Riemann també seria certa. Tot i això, s'ha demostrat computacionalment que la conjectura és falsa.[ 4]
↑ Möebius , A. F. «Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen ». Journal für die reine und angewandte Mathematik , 9, 1832, pàg. 105-123.↑ Vinogradov , I. Fundamentos de la teoría de los números . 2a ed. Moscou: Editorial Mir, 1977. ↑ Jacobson , NathanBasic algebra I . 2a ed. Dover Publications, 1985. ISBN 978-0-486-47189-1 ↑ Odlyzko , A. M. last2=te Riele «Disproof of the Mertens conjecture ». Journal für die reine und angewandte Mathematik DOI : 10.1515/crll.1985.357.138 . ISSN : 0075-4102 .
Bibliografia
