Forma quadràtica definida

En matemàtiques, i més particularmentment en àlgebra lineal, una forma quadràtica definida és una forma quadràtica definida sobre el cos dels nombres reals que satisfà una propietat de positivitat o negativitat; es parla aleshores de forma quadràtica definida positiva o de forma quadràtica definida negativa, respectivament. El mateix concepte s'aplica a les matrius simètriques amb coeficients reals. En el cas de coeficients complexos hi ha un concepte anàleg per a les formes hermítiques.

Definició per a formes quadràtiques i formes hermítiques

Sigui ${\displaystyle V}$ un espai vectorial real o complex, ${\displaystyle g\colon V\times V\to \mathbb {R} }$ una forma bilineal simètrica, o bé ${\displaystyle g\colon V\times V\to \mathbb {C} }$ una forma hermítica. Denotem-la per ${\displaystyle (x|y)=g(x,y)}$. Recordem que en el cas real g defineix una forma quadràtica per Q(v)=(v|v), i que en el cas hermític sempre es compleix que ${\displaystyle (v|v)}$ és real. Es diu que g, o la forma quadràtica Q, és:

definida positiva	si, per a tot v diferent de zero, ${\displaystyle (v|v)>0}$
semidefinida positiva	si, per a tot v, ${\displaystyle (v|v)\geq 0}$
definida negativa	si, per a tot v diferent de zero, ${\displaystyle (v|v)<0}$
semidefinida negativa	si, per a tot v, ${\displaystyle (v|v)\leq 0}$
indefinida	si no és semidefinida

Observem doncs que la forma és indefinida sii hi ha un u tal que ${\displaystyle (u|u)<0}$ i un v tal que ${\displaystyle (v|v)>0}$. L'única forma que és alhora semidefinida positiva i semidefinida negativa és la forma nul·la.

Una forma definida positiva es diu producte escalar. Per exemple producte escalar estàndard sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (o ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) és definit positiu.

Definició per a matrius simètriques i matrius hermítiques

Cada matriu A quadrada simètrica amb coeficients reals (o matriu hermítica amb coeficients complexos) defineix una forma bilineal simètrica sobre ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ (o bé una forma hermítica sobre ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$). En qualsevol dels casos es diu que la matriu és definida positiva, etc., si ho és la forma corresponent. Així doncs, en el cas real, A es diu:

definida positiva	si, per a tot x diferent de zero, ${\displaystyle x^{\top }Ax>0}$
semidefinida positiva	si, per a tot x, ${\displaystyle x^{\top }Ax\geq 0}$
definida negativa	si, per a tot x diferent de zero, ${\displaystyle x^{\top }Ax<0}$
semidefinida negativa	si, per a tot x, ${\displaystyle x^{\top }Ax\leq 0}$
indefinida	si no és semidefinida

on x és un vector columna arbitrari.

En el cas complex les expressions anteriors canvien lleugerament: en lloc del vector fila transposat ${\displaystyle x^{\top }}$ cal posar el vector fila adjunt (transposat i conjugat), ${\displaystyle x^{*}\;={\overline {x}}^{\top }}$.

Criteris de definició per a matrius simètriques i matrius hermítiques

Valors propis

Una matriu quadrada simètrica (o bé hermítica) és:

definida positiva	si tots els seus valors propis són estrictament positius;
semidefinida positiva	si tots els valors propis són més grans o iguals que zero;
definida negativa	si tots els seus valors propis són estrictament negatius;
semidefinida negativa	si tots els valors propis són més petits o iguals que zero;
indefinida	si té valors propis estrictament positius i estrictament negatius.

En principi, doncs, caldria calcular (o estimar) els valors propis de la matriu. Tanmateix, és suficient conèixer el signe d'aquests vectors propis, problema més fàcilment resoluble.

Menors principals

Una matriu simètrica (o hermítica) ${\displaystyle A}$ és definida positiva sii tots els seus menors principals dominants són estrictament positius. Anàlogament, com que ${\displaystyle A}$ és definida negativa sii ${\displaystyle -A}$ és definida positiva, resulta que ${\displaystyle A}$ és definida negativa sii aquests menors es van alternant de signe (els d'ordre imparell són negatius i els d'ordre parell positius). Més detalladament:

Sigui ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ una matriu simètrica real, o una matriu hermítica complexa. Considerem els menors principals dominants de A:

${\displaystyle \Delta _{1}=a_{11},\quad \Delta _{2}=\left|{\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right|,\quad \ldots ,\quad \Delta _{n}=\left|{\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{array}}\right|}$

Llavors

• A és definida positiva sii ${\displaystyle \Delta _{i}>0}$ per a ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$.
• A és definida negativa sii ${\displaystyle (-1)^{i}\Delta _{i}>0}$ per a ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$.

Observacions

• Per a matrius semidefinides no hi ha criteri de menors principals.^[1]
• Aquest criteri rep el nom de criteri de Sylvester. A vegades també s'anomena criteri de Hurwitz.

Mètode d'eliminació de Gauss

Una matriu quadrada simètrica real ${\displaystyle A=(a_{i,k})_{i,k=1}^{n}}$ és definida positiva quan s'hi pot aplicar el mètode de reducció de Gauss sense canvis de línia, amb pivots positius.

Factorització de Cholesky

Una matriu simètrica ${\displaystyle A}$ és definida positiva quan se'n pot fer una factorització de Cholesky ${\displaystyle A=GG^{T}}$ amb ${\displaystyle G}$ matriu triangular inferior invertible.

Matrius amb diagonal dominant

Una matriu ${\displaystyle A}$ simètrica, amb diagonal estrictament dominant, i amb tots els elements diagonals positius, és definida positiva.^[2]

El recíproc és fals. La matriu següent és definida positiva però no amb diagonal dominant:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\2&100\\\end{pmatrix}}}$

Importància

• La restricció d'una forma definida positiva a un subespai és encara definida positiva, i en particular no degenerada. Aquest fet permet descompondre l'espai en suma directa d'un subespai i el seu complement ortogonal.
• El caràcter definit d'una forma quadratica té un paper fonamental en l'estudi i classificació dels punts crítics d'una funció ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$, és a dir, en el càlcul d'extrems.

Referències

1. IEEE: On Sylvester's criterion for positive-semidefinite matrices, Trans. Automatic Control, 1973 (anglès)
2. Spezielle Matrixeigenschaften, Richard Reiner, 9126720, Gruppe: Next Generation (alemany)