Equació hiperbòlica en derivades parcials

Una equació hiperbòlica en derivades parcials és una equació diferencial en derivades parcials de segon ordre del tipus:

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0\quad }$

en la qual la matriu ${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\end{bmatrix}}}$ té un determinant menor que 0. Un exemple d'una equació diferencial en derivades parcials parcials hiperbòlica és l'equació d'ona.

Exemples

A través d'un canvi de variables lineal, qualsevol equació de la forma:

${\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(termes derivatius de menor ordre)}}=0}$

amb

${\displaystyle B^{2}-AC>0}$

es pot transformar en l'equació d'ona, més enllà dels termes d'ordre menor que no són essencials per comprendre l'equació de manera qualitativa.^[1] Aquesta definició és anàloga a la de la hipèrbola plana.

L'equació d'ona unidimensional:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$

és un exemple d'una equació hiperbòlica. Les equacions d'ona bidimensional i tridimensional també pertanyen a la categoria de les PDEs hiperbòliques. Aquest tipus d'equacions hiperbòliques en derivades parcials de segon ordre es poden transformar en sistemes hiperbòlics d'equacions diferencials de primer ordre.^[2]

Vegeu també

• Equació el·líptica en derivades parcials
• Equació parabòlica en derivades parcials
• Equació diferencial en derivades parcials
• Equació en derivades parcials

Bibliografia

• Evans, Lawrence C. (2010), Partial differential equations, vol. 19 (2nd ed.), Graduate Studies in Mathematics, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4974-3, <http://www.ams.org/journals/bull/2000-37-03/S0273-0979-00-00868-5/S0273-0979-00-00868-5.pdf>

Referències

1. Evans 1998, p.400
2. Evans 1998, p.402