En la teoria de la probabilitat i l'estadística, la distribució geomètrica de Poisson (també anomenada distribució Pólya-Aeppli) s'utilitza per descriure objectes que vénen en grups, on el nombre de clústers segueix una distribució de Poisson i el nombre d'objectes dins d'un clúster segueix una distribució geomètrica.[1] És un cas particular de la distribució composta de Poisson.[2]
La funció de massa de probabilitat d'una variable aleatòria N distribuïda segons la distribució geomètrica de Poisson P G ( λ , θ ) {\displaystyle {\mathcal {PG}}(\lambda ,\theta )} està donat per [3]
f N ( n ) = P r ( N = n ) = { ∑ k = 1 n e − λ λ k k ! ( 1 − θ ) n − k θ k ( n − 1 k − 1 ) , n > 0 e − λ , n = 0 {\displaystyle f_{N}(n)=\mathrm {Pr} (N=n)={\begin{cases}\sum _{k=1}^{n}e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}(1-\theta )^{n-k}\theta ^{k}{\binom {n-1}{k-1}},&n>0\\e^{-\lambda },&n=0\end{cases}}}
on λ és el paràmetre de la distribució de Poisson subjacent i θ és el paràmetre de la distribució geomètrica.[4]
La distribució va ser descrita per George Pólya el 1930. Pólya va acreditar la dissertació de 1924 del seu alumne Alfred Aeppli com a font original. Va ser anomenada distribució geomètrica de Poisson per Sherbrooke el 1968, que va donar taules de probabilitats amb una precisió de quatre decimals.[5]
La distribució geomètrica de Poisson s'ha utilitzat per descriure sistemes modelats per un model de Màrkov, com processos biològics[4] o accidents de trànsit.[6]