Distribució Wishart complexa

Distribució Wishart complexa

Tipus	distribució matricial

En estadística, la distribució Wishart complexa és una versió complexa de la distribució Wishart. És la distribució de ${\displaystyle n}$ vegades la matriu de covariància hermitiana mostral de ${\displaystyle n}$ variables aleatòries gaussianes independents de mitjana zero. Té suport per ${\displaystyle p\times p}$ Matrius definides positives hermitianes.^[1]

La distribució complexa de Wishart és la densitat d'una matriu de covariància de mostra amb valors complexos. Si es fa^[2]

${\displaystyle S_{p\times p}=\sum _{i=1}^{n}G_{i}G_{i}^{H}}$

on cadascun ${\displaystyle G_{i}}$ és una columna p -vector independent de mostres de mitjana zero gaussianes complexes aleatòries i ${\displaystyle (.)^{H}}$ és una transposició hermitiana (conjugada complexa). Si la covariància de G és ${\displaystyle \mathbb {E} [GG^{H}]=M}$ aleshores

${\displaystyle S\sim n{\mathcal {CW}}(M,n,p)}$

on ${\displaystyle {\mathcal {CW}}(M,n,p)}$ és la distribució central complexa de Wishart amb n graus de llibertat i valor mitjà, o matriu d'escala, M.

${\displaystyle f_{S}(\mathbf {S} )={\frac {\left|\mathbf {S} \right|^{n-p}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {M} ^{-1}\mathbf {S} )}}{\left|\mathbf {M} \right|^{n}\cdot {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}(n)}},\;\;\;n\geq p,\;\;\;\left|\mathbf {M} \right|>0}$

on

${\displaystyle {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}^{}(n)=\pi ^{p(p-1)/2}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (n-j+1)}$

és la funció gamma multivariant complexa.^[3]

Utilitzant la regla de rotació de traça ${\displaystyle \operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (CAB)}$ també aconseguim

${\displaystyle f_{S}(\mathbf {S} )={\frac {\left|\mathbf {S} \right|^{n-p}}{\left|\mathbf {M} \right|^{n}\cdot {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}(n)}}\exp \left(-\sum _{i=1}^{p}G_{i}^{H}\mathbf {M} ^{-1}G_{i}\right)}$

que és bastant proper al complex pdf multivariant de G mateix. Els elements de G tenen convencionalment simetria circular tal que ${\displaystyle \mathbb {E} [GG^{T}]=0}$.^[4]

Referències

1. N. R. Goodman The Annals of Mathematical Statistics, 34, 1963, pàg. 178–180. DOI: 10.1214/aoms/1177704251 [Consulta: lliure].
2. Srivastava, M. S. «On the Complex Wishart Distribution». The Annals of Mathematical Statistics, 36, 1, 1965, pàg. 313–315. ISSN: 0003-4851.
3. Goodman, N R Ann. Math. Statist., 34, 1963, pàg. 152–177. DOI: 10.1214/aoms/1177704250 [Consulta: lliure].
4. Graczyk, Piotr; Letac, Gérard; Massam, Hélène «The complex Wishart distribution and the symmetric group». The Annals of Statistics, 31, 1, 2003, pàg. 287–309. ISSN: 0090-5364.