En estadística, la distribució normal matricial o distribució gaussiana matricial és una distribució de probabilitat que és una generalització de la distribució normal multivariable a variables aleatòries amb valors matricials.[1]
La normal de la matriu està relacionada amb la distribució normal multivariant de la següent manera: [2]
X ∼ M N n × p ( M , U , V ) , {\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {MN}}_{n\times p}(\mathbf {M} ,\mathbf {U} ,\mathbf {V} ),}
si i només si
v e c ( X ) ∼ N n p ( v e c ( M ) , V ⊗ U ) {\displaystyle \mathrm {vec} (\mathbf {X} )\sim {\mathcal {N}}_{np}(\mathrm {vec} (\mathbf {M} ),\mathbf {V} \otimes \mathbf {U} )}
on ⊗ {\displaystyle \otimes } denota el producte Kronecker i v e c ( M ) {\displaystyle \mathrm {vec} (\mathbf {M} )} denota la vectorització de M {\displaystyle \mathbf {M} } .
La funció de densitat de probabilitat per a la matriu aleatòria X (n×p) que segueix la distribució normal de la matriu M N n , p ( M , U , V ) {\displaystyle {\mathcal {MN}}_{n,p}(\mathbf {M} ,\mathbf {U} ,\mathbf {V} )} té la forma:
p ( X ∣ M , U , V ) = exp ( − 1 2 t r [ V − 1 ( X − M ) T U − 1 ( X − M ) ] ) ( 2 π ) n p / 2 | V | n / 2 | U | p / 2 {\displaystyle p(\mathbf {X} \mid \mathbf {M} ,\mathbf {U} ,\mathbf {V} )={\frac {\exp \left(-{\frac {1}{2}}\,\mathrm {tr} \left[\mathbf {V} ^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}\mathbf {U} ^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )\right]\right)}{(2\pi )^{np/2}|\mathbf {V} |^{n/2}|\mathbf {U} |^{p/2}}}}
on t r {\displaystyle \mathrm {tr} } denota traça i M és n×p, U és n×n i V és p×p, i la densitat s'entén com la funció de densitat de probabilitat respecte a la mesura estàndard de Lebesgue en R n × p {\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times p}} , és a dir: la mesura corresponent a la integració respecte a d x 11 d x 21 … d x n 1 d x 12 … d x n 2 … d x n p {\displaystyle dx_{11}dx_{21}\dots dx_{n1}dx_{12}\dots dx_{n2}\dots dx_{np}} .[4]