Голяма полуос

Голямата полуос (a) и малката полуос (b) на елипса.

В геометрията голяма полуос се отнася до елипси и хиперболи.

Елипса

Полуглавната ос на елипсата е половината от голямата ос от центъра и през фокус до точка от елипсата. Голямата ос е най-дългата отсечка, миниваща през двата фокуса и съединяваща двете най-отдалечени точки от фигурата.

Ексцентрицитетът ${\displaystyle (e)}$ е свързан с малката полуос ${\displaystyle (b)}$ и голямата полуос посредством зависимостта: ${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}}$

Голямата полуос е средноаритметичната стойност на най-голямото ${\displaystyle r={l \over {1-e}}}$ и най-малкото ${\displaystyle r={l \over {1+e}}}$ разстояние от фокуса до точки от елипсата.

Хипербола

Голямата полуос на хипербола е половината от разстоянието между двете части на хиперболата. Ако разстоянието е по абсцисата то:

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$

Астрономия

Орбитален период

В астродинамиката орбитален период ${\displaystyle T\,}$ на тяло с незначителна маса и размери на орбита (кръгова или елиптична) около масивно тяло със сферична форма е:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3}/\mu }}}$

където:

${\displaystyle a\,}$ е дължината на голямата полуос

${\displaystyle \mu }$ е стандартен гравитационен параметър

Забележете че за всички елипси с една и съща голяма полуос орбиталния период е един и същ, независимо от ексцентрицитета.

В астрономията, голямата полуос е един от най-важните орбитални параметри, заедно с орбиталния период. За обекти в Слънчевата система орбиталният период и голямата полуос са свързани със третия закон на Кеплер:

${\displaystyle P^{2}=a^{3}\,}$

където P е периода измерен в години и a е голямата полуос в АЕ. Закона е частен случай за M >> m на общия закон на гравитацията на Исак Нютон:

${\displaystyle P^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}\,}$

където G е гравитационна константа, M е масата на централното тяло, а m е масата на тялото на орбита около централното.

Средно разстояние

Средно разстояние може да се определи по следния начин:

• средното разстояние по ексцентричната аномалия е равно на голямата полуос.
• средното разстояние по същинската аномалия (с постоянен ъгъл спрямо фокуса) е равно на малката полуос ${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}}$.
• средното разстояние по средната аномалия (част от орбиталния период изминала след перицентъра, в радиани), е средното разстояние (в класическия смисъл) ${\displaystyle a(1+{\frac {e^{2}}{2}})\,}$

Енергия; изчисление на главната полуос от вектори на положението

В астродинамиката главната полуос ${\displaystyle a\,}$ може да бъде изчислена от орбиталните вектори на положението по следния начин:

${\displaystyle a={-\mu \over {2\epsilon }}\,}$ за елиптична орбита и ${\displaystyle a={\mu \over {2\epsilon }}\,}$ за хиперболична траектория

както и

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over {2}}-{\mu \over \left|\mathbf {r} \right|}}$ (специфична орбитална енергия)

и

${\displaystyle \mu =GM\,}$ (стандартен гравитационен параметър),

където:

• ${\displaystyle v\,}$ е орбиталната скорост на обекта на орбита,
• ${\displaystyle \mathbf {r} \,}$ е векторът на позицията на обекта на орбита в съответните координати на системата, спрямо която биват изчислявани орбиталните параметри (например геоцентрична равнина за орбита около Земята и хелиоцентрична еклиптика за орбита около Слънцето),
• ${\displaystyle G\,}$ е гравитационната константа,
• ${\displaystyle M\,}$ е масата на централното тяло.

За дадена маса на централното тяло и обща специфична енергия, голямата полуос е винаги една и съща независимо от ексцентрицитета и обратно.

Пример

Международната космическа станция има орбитален период от 91,74 минути и следователно има голяма полуос от 6738 km [1]. За всяка минута допълнителна минута орбитален период се равнява на приблизително 50 km по-дълга ос: за допълнителните 300 km от орбиталната обиколка са необходими 40 секунди, а по-ниската орбитална скорост води до удължаване на периода с още 20 секунди.

Източници

• ((en)) Jeremy B. Tatum, Небесна механика, Глава 9 – Двуизмерен проблем с две тела (2004)
• ((en)) Darren M. Williams, Средно разстояние между звезда и планета в ексцентрична орбита, American Journal of Physics, ноември 2003, Издание 71, Брой 11, страници 1198 – 1200^{[неработеща препратка]}