Задача знаходжання найбольшай агульнай падпаслядоўнасці (англ.: longest common subsequence, LCS) — задача пошуку паслядоўнасці, якая з'яўляецца падпаслядоўнасцю некалькіх паслядоўнасцей (звычайна дзвюх). Часта задача вызначаецца як пошук усіх найбольшых падпаслядоўнасцей. Гэта класічная задача інфарматыкі, якая мае ўжыванне, у прыватнасці, у задачы параўнання тэкставых файлаў (утыліта diff), а таксама ў біяінфарматыцы.
Падпаслядоўнасць можна атрымаць з некаторай канечнай паслядоўнасці, калі выдаліць з апошняй некаторае мноства яе элементаў (магчыма пустое). Напрыклад, BCDB з'яўляецца падпаслядоўнасцю з ABCDBAB. Будзем лічыць, што паслядоўнасць Z з'яўляецца агульнай падпаслядоўнасцю паслядоўнасцей X і Y, калі Z з'яўляецца падпаслядоўнасцю як X, так і Y. Патрабуецца для дзвюх паслядоўнасцей X і Y знайсці агульную падпаслядоўнасць найбольшай даўжыні. Заўважым, што НАП можа быць некалькі.
Параўнаем два метады рашэння: поўны перабор і дынамічнае праграмаванне.
Існуюць розныя падыходы рашэння дадзенай задачы пры поўным пераборы — можна перабіраць варыянты падпаслядоўнасці, варыянты выкрэслівання з дадзеных паслядоўнасцей і г. д. Аднак у любым выпадку, час працы праграмы будзе экспанентай ад даўжыні радка.
Спачатку знойдзем даўжыню найбольшай падпаслядоўнасці. Дапусцім, мы шукаем рашэнне для выпадку (n1, n2), дзе n1, n2 — даўжыні першага і другога радка. Хай ужо існуюць рашэнні для усіх падзадач (m1, m2), меншых зададзенай. Тады задача (n1, n2) зводзіцца да меншых падзадач наступным чынам:
f ( n 1 , n 2 ) = { 0 , n 1 = 0 ∨ n 2 = 0 f ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) + 1 , s [ n 1 ] = s [ n 2 ] m a x ( f ( n 1 − 1 , n 2 ) , f ( n 1 , n 2 − 1 ) ) , s [ n 1 ] ≠ s [ n 2 ] {\displaystyle f(n_{1},n_{2})=\left\{{\begin{array}{ll}0,&n_{1}=0\lor n_{2}=0\\f(n_{1}-1,n_{2}-1)+1,&s[n_{1}]=s[n_{2}]\\max(f(n_{1}-1,n_{2}),f(n_{1},n_{2}-1)),&s[n_{1}]\neq s[n_{2}]\end{array}}\right.}
Зараз вернемся да задачы будавання падпаслядоўнасці. Для гэтага ў існуючы алгарытм дададзім запамінанне для кожнай задачы той падзадачы, праз якую яна вырашаецца. Наступным дзеяннем, пачынаючы з апошняга элемента, падымаемся да пачатку па напрамках, зададзеных першым алгарытмам, і запісваем сімвалы ў кожнай пазіцыі. Гэта і будзе адказам у дадзенай задачы.
Час працы алгарытму будзе O ( n 1 ⋅ n 2 ) {\displaystyle \mathrm {O} \,(n_{1}\cdot n_{2})} .