E8 (матэматыка)

Група, алгебра

Тэорыя груп Асноўныя паняцці Падгрупа Нармальная падгрупа Фактаргрупа (паў-)Прамы здабытак Тапалагічныя групы Група Лі Артаганальная група O(n) Спецыяльная ўнітарная група SU(n) G2 F4 E6 E7 E8 Група Лорэнца Група Пуанкарэ

Тэорыя струн

Тэорыя суперструн Тэорыя Тэорыя струн Суперструны Тэорыя базонных струн М-тэорыя Гетэратычная струна Палявая тэорыя струн Галаграфічны прынцып Асноўныя паняцці Квантавая струна · Брана Прастора Калабі — Яу Алгебра Каца-Мудзі Брана E8 група Лі Блізкія тэмы Суперсіметрыя Супергравітацыя Квантавая гравітацыя Вядомыя вучоныя Грын · Грос · Каку · Малдасена · Палякоў · Шварц · Саскінд · Венецыяна · Уітэн

Граф паліэдра E₈

У матэматыцы, ${\displaystyle E_{8}}$ — найбольшая асаблівая простая група Лі. ${\displaystyle E_{8}}$ была адкрыта Вільгельмам Кілінгам ў 1888-1890 гадах, а сучаснае яе абазначэнне прыйшло з класіфікацыі простых алгебр Лі, якую ўвялі Элі Картал і Вільгельм Кілінг. Класіфікацыя вылучае чатыры бясконцых сямейства простых алгебр Лі, якія пазначаюцца ${\displaystyle A_{n}}$, ${\displaystyle B_{n}}$, ${\displaystyle C_{n}}$, ${\displaystyle D_{n}}$, і пяць асаблівых выпадкаў, якія пазначаюцца E₆, E₇, E₈, F₄ і G₂.

Апісанне

${\displaystyle E_{8}}$ мае ранг 8 і размернасць 248 (як мнагастайнасць). Вектары сістэмы каранёў вызначаны ў васьмі вымярэннях.

Схема Дынкіна

Схема Дынкіна для Е₈ мае наступны выгляд:

Dynkin diagram of E₈

Гэтая схема сцісла апісвае будову сістэмы каранёў. Кожны вузел схемы ўяўляе сабой просты корань. Лінія, якая злучае два простых корані, азначае, што яны знаходзяцца пад вуглом 120° адзін да аднаго. Два простых корані, не злучаныя лініяй, артаганальныя.

Матрыца Картала

Матрыца Картала сістэмы каранёў парадку r — гэта матрыца ${\displaystyle r\times r}$, элементы якой вызначаюцца простымі каранямі наступным чынам:

${\displaystyle A_{ij}=2{\frac {(\alpha _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}}$

дзе ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ — эўклідавы скалярны здабытак, а ${\displaystyle \alpha _{i}}$ — простыя карані. Элементы матрыцы не залежаць ад выбару простых каранёў (з дакладнасцю да парадку).

Матрыца Картала для E₈ мае выгляд

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&2\end{smallmatrix}}\right]}$

Вызначнік гэтай матрыцы роўны 1.

Гл. таксама

• Выключна простая тэорыя ўсяго
• Група Лі

Спасылкі

• «Ну очень большой результат», Компьютерра, Галактион Андреев, 11 апреля 2007 года
• «В 248-мерное пространство прорвались теоретики», Cnews, 20 марта 2007 года