Корань мнагачлена

Корань мнагачлена (не роўнага тоесна нулю)

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}}$

над полем k — гэта элемент ${\displaystyle c\in k}$ (альбо элемент пашырэння поля k), такі, што выконваюцца дзве наступныя раўназначныя ўмовы:

• дадзены мнагачлена дзеліцца на мнагачлен ${\displaystyle x-c}$;
• падстаноўка элемента c замест x ператварае ўраўненне

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}=0}$

у тоеснасць.

Раўназначнасць дзвюх фармулёвак вынікае з тэарэмы Безу. У розных крыніцах нейкая адна з іх выбіраецца ў якасці азначэння, а другая выводзіцца ў якасці тэарэмы.

Кажуць, што корань ${\displaystyle c}$ мае кратнасць ${\displaystyle m}$, калі мнагачлен дзеліцца на ${\displaystyle (x-c)^{m}}$ і не дзеліцца на ${\displaystyle (x-c)^{m+1}.}$ Напрыклад, мнагачлен ${\displaystyle ~x^{2}-2x+1}$ мае адзіны корань роўны ${\displaystyle 1}$, кратнасці 2. Выраз «кратны корань» азначае, што кратнасць кораня большая за адзінку.

Уласцівасці

• Лік каранёў мнагачлена ступені ${\displaystyle n}$ не перавышае ${\displaystyle n}$ нават у тым выпадку, калі кожны корань улічваць столькі разоў, якая яго кратнасць.
• Кожны мнагачлен ${\displaystyle p(x)}$ з камплекснымі каэфіцыентамі мае прынамсі адзін, наогул кажучы, камплексны, корань (асноўная тэарэма алгебры).
  • Аналагічнае сцвярджэнне справядліва для любога алгебраічна замкнёнага поля (па азначэнню).
  • Больш таго, мнагачлен з рэчаіснымі каэфіцыентамі ${\displaystyle p(x)}$ можна запісаць у выглядзе

${\displaystyle p(x)=a_{n}(x-c_{1})(x-c_{2})\ldots (x-c_{n}),}$

дзе ${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}}$ — (у агульным выпадку камплексныя) карані мнагачлена ${\displaystyle p(x)}$, магчыма з паўторамі, пры гэтым калі сярод каранёў ${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}}$ мнагачлена ${\displaystyle p(x)}$ сустракаюцца роўныя, то агульнае іх значэнне называецца кратным коранем.

• Лік камплексных каранёў мнагачлена з камплекснымі каэфіцыентамі ступені n, улічваючы кратныя карані кратную колькасць разоў, роўны n. Пры гэтым усе чыста камплексныя карані (калі яны ёсць) мнагачлена з рэчаіснымі каэфіцыентамі можна разбіць на пары спалучаных аднолькавай кратнасці, такім чынам, мнагачлен цотнай ступені з рэчаіснымі каэфіцыентамі можа мець толькі цотную колькасць рэчаісных каранёў, а няцотнай — толькі няцотную.
• Карані мнагачлена звязаныя з яго каэфіцыентамі формуламі Віета.

Гл. таксама

• Схема Горнера
• Нуль функцыі