Llei de los gases ideales

Llei de los gases ideales
leyes de los gases ^(es) y Ecuación de estado ^(es)

La llei de los gases ideales ye la ecuación d'estáu del gas ideal, un gas hipotético formáu por partícules puntuales ensin atraición nin repulsión ente elles y que los sos choques son perfectamente elásticos (caltenimientu pel momento y enerxía cinética). La enerxía cinética ye direutamente proporcional a la temperatura nun gas ideal. Los gases reales que más s'averen al comportamientu del gas ideal son los gases monoatómicos en condiciones de baxa presión y alta temperatura.

En 1648, el químicu Jan Baptista van Helmont creó'l vocablu gas, a partir del términu griegu kaos (desorde) pa definir les xénesis carauterístiques del anhídridu carbónico. Esta denominación estendióse depués a tolos cuerpos gaseosos y utilízase pa designar unu de los estaos de la materia.

La presión exercida por una fuercia física ye inversamente proporcional al volume d'una masa gaseoso, siempres y cuando la so temperatura caltenga constante. o en términos más senciellos:

A temperatura constante, el volume d'una masa fixo de gas ye inversamente proporcional a la presión qu'este exerz. Matemáticamente puede espresase asina:

${\displaystyle PV=k}$

onde ${\displaystyle k}$ ye constante si la temperatura y la masa del gas permanecen constantes.

Cuando aumenta la presión, el volume baxo, ente que si la presión mengua'l volume aumenta. Nun ye necesariu conocer el valor exactu de la constante ${\displaystyle k}$ pa poder faer usu de la llei: si consideramos los dos situaciones de la figura, calteniendo constante la cantidá de gas y la temperatura, tendrá de cumplise la rellación:

${\displaystyle P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}\,}$.

Les primeres lleis de los gases fueron desenvueltos dende finales del sieglu XVII, aparentemente de manera independiente por August Krönig en 1856^[1] y Rudolf Clausius en 1857.^[2] La constante universal de los gases afayóse ya introducióse per primer vegada na llei de los gases ideales en llugar d'un gran númberu de constantes de gases específiques descrites por Dmitri Mendeleev en 1874.^{[3][4] [5]}

Nesti sieglu, los científicos empezaron a dase cuenta de que nes rellaciones ente la presión, el volume y la temperatura d'una muestra de gas, nun sistema zarráu, podría llograse una fórmula que sería válida pa tolos gases. Estos pórtense de forma similar nuna amplia variedá de condiciones por cuenta del bonu aproximamientu que tienen les molécules que s'atopen más separaes, y anguaño la ecuación d'estáu pa un gas ideal derivar de la teoría cinética. Agora les lleis anteriores de los gases considérense como casos especiales de la ecuación del gas ideal, con una o más de les variables calteníes constantes.

Empíricamente, reparar una serie de rellaciones proporcionales ente la temperatura, la presión y el volume que dan llugar a la llei de los gases ideales, deducida per primer vegada por Émile Clapeyron en 1834 como una combinación de la llei de Boyle y la llei de Charles.^[6]

La ecuación d'estáu

El Función d'estáu tao d'una cantidá de gas determinar pola so presión, volume y temperatura. La forma moderna de la ecuación rellaciona estos a cencielles en dos formes principales. La temperatura utilizada na ecuación d'estáu ye una temperatura absoluta: nel sistema SI d'unidaes, kelvin, nel sistema imperial, graos Rankine.^[7]

Forma común

La ecuación que describe de normal la rellación ente la presión, el volume, la temperatura y la cantidá (en moles) d'un gas ideal ye:

${\displaystyle PV=nRT}$

Onde:

• ${\displaystyle P\!}$ = Presión absoluta
• ${\displaystyle V\!}$ = Volume
• ${\displaystyle n\!}$ = Moles de gas
• ${\displaystyle R\!}$ = Constante universal de los gases ideales
• ${\displaystyle T\!}$ = Temperatura absoluta

Teoría cinética molecular

Artículu principal: Teoría cinética

Esta teoría foi desenvuelta por Ludwig Boltzmann y Maxwell. Indícanos les propiedaes d'un gas ideal a nivel molecular.

• Tou gas ideal ta formáu por N pequeñes partícules puntuales (átomos o molécules).
• Les molécules gaseoses mover a altes velocidaes, en forma recta y desordenada.
• Un gas ideal exerz una presión continua sobre les parés del recipiente que lu contién, por cuenta de los choques de les partícules coles parés d'este.
• Los choques moleculares son perfectamente elásticos. Nun hai perda d'enerxía cinética.
• Nun se tienen en cuenta les interacciones d'atraición y repulsión molecular.
• La enerxía cinética media de la tresllación d'una molécula ye direutamente proporcional a la temperatura absoluta del gas.

Nestes circunstancies, la ecuación de los gases atópase teóricamente:

${\displaystyle PV=N\kappa _{B}T\;}$

onde ${\displaystyle \kappa _{B}}$ ye la constante de Boltzmann, onde ${\displaystyle N}$ ye'l númberu de partícules.

La ecuación d'estáu pa gases reales

Artículu principal: Llei de los gases reales

Valores de R
${\displaystyle {\rm {8,314472\quad {\frac {J}{K\cdot mol}}}}}$
${\displaystyle {\rm {0,08205746\quad {\frac {L\cdot atm}{K\cdot mol}}}}}$
${\displaystyle {\rm {8,205746\cdot 10^{-5}\quad {\frac {m^{3}\cdot atm}{K\cdot mol}}}}}$
${\displaystyle {\rm {8,314472\quad {\frac {L\cdot kPa}{K\cdot mol}}}}}$
${\displaystyle {\rm {62,36367\quad {\frac {L\cdot mmHg}{K\cdot mol}}}}}$
${\displaystyle {\rm {62,36367\quad {\frac {L\cdot Torr}{K\cdot mol}}}}}$
${\displaystyle {\rm {83,14472\quad {\frac {L\cdot mbar}{K\cdot mol}}}}}$
${\displaystyle {\rm {1,98721\quad {\frac {cal}{K\cdot mol}}}}}$
${\displaystyle {\rm {10,7316\quad {\frac {ft^{3}\cdot psi}{^{\circ }R\cdot lbmol}}}}}$
${\displaystyle {\rm {0,08205746\quad {\frac {dm^{3}\cdot atm}{K\cdot mol}}}}}$

Faciendo una correición a la ecuación d'estáu d'un gas ideal, esto ye, tomando en cuenta les fuercies intermoleculares y volúmenes intermoleculares finitos, llógrase la ecuación pa gases reales, tamién llamada ecuación de Van der Waals:

${\displaystyle \left(P+{\frac {an^{2}}{V^{2}}}\right)(V-nb)=nRT}$

Onde:

• ${\displaystyle P\!}$ = Presión del gas
• ${\displaystyle V\!}$ = Volume del gas
• ${\displaystyle n\!}$ = Númberu de moles de gas
• ${\displaystyle R\!}$ = constante de gases
• ${\displaystyle T\!}$ = Temperatura del gas
• ${\displaystyle a\!}$ y ${\displaystyle b\!}$ son constantes determinaes pola naturaleza del gas con cuenta d'haya la mayor congruencia posible ente la ecuación de los gases reales y el comportamientu reparáu esperimentalmente.

Ecuación xeneral de los gases ideales

Partiendo de la ecuación d'estáu:

${\displaystyle PV=nRT}$

Tenemos que:

${\displaystyle {\frac {PV}{nT}}=R}$

Onde R ye la constante universal de los gases ideales, depués pa dos estaos del mesmu gas, 1 y 2:

${\displaystyle {\frac {P_{1}V_{1}}{n_{1}T_{1}}}={\frac {P_{2}V_{2}}{n_{2}T_{2}}}=R}$

Pa una mesma masa gaseoso (poro, el númberu de moles «n» ye constante), podemos afirmar qu'esiste una constante direutamente proporcional a la presión y volume del gas, ya inversamente proporcional al so temperatura.

El productu PV ye direutamente proporcional a la temperatura del gas y si T ye constante, P y V son inversamente proporcionales.

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}{\cfrac {P_{1}V_{1}}{T_{1}n_{1}}}={\cfrac {P_{2}V_{2}}{T_{2}n_{2}}}\\\;\\n={\rm {Constante}}\end{array}}\right\}\longrightarrow {\cfrac {P_{1}V_{1}}{T_{1}}}={\cfrac {P_{2}V_{2}}{T_{2}}}}$

Procesos gaseosos particulares

Procesos realizaos calteniendo constante un par de los sos cuatro variables (${\displaystyle n}$, ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle T}$), de forma que queden dos; una llibre y otra dependiente. D'esta miente, la fórmula enriba espuesta pa los estaos 1 y 2, pue ser operada simplificando 2 o más parámetros constantes. Según cada casu, reciben los nomes:

Llei de Boyle-Mariotte

Artículu principal: Llei de Boyle-Mariotte

Tamién llamáu procesu isotérmico. Afirma que, a temperatura y cantidá de gas constante, la presión d'un gas ye inversamente proporcional al so volume:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}{\cfrac {P_{1}\cdot V_{1}}{T_{1}\cdot n_{1}}}={\cfrac {P_{2}\cdot V_{2}}{T_{2}\cdot n_{2}}}\\\;\\n={\rm {Constante}}\\T={\rm {Constante}}\end{array}}\right\}\longrightarrow P_{1}\cdot V_{1}=P_{2}\cdot V_{2}}$

Lleis de Charles y Gay-Lussac

En 1802, Louis Gay Lussac publica los resultaos de los sos esperimentos, basaos nos que Jacques Charles fixo en 1787. Considérase asina al procesu isobárico pa la Llei de Charles, y al isocoro (o isostérico) pa la llei de Gay Lussac.

Procesu isobárico (Charles)

Artículu principal: Llei de Charles y Gay-Lussac

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}{\cfrac {P_{1}\cdot V_{1}}{T_{1}\cdot n_{1}}}={\cfrac {P_{2}\cdot V_{2}}{T_{2}\cdot n_{2}}}\\\;\\n={\rm {Constante}}\\P={\rm {Constante}}\end{array}}\right\}\longrightarrow {\cfrac {V_{1}}{T_{1}}}={\cfrac {V_{2}}{T_{2}}}}$

Procesu isocoro ( Gay Lussac)

Artículu principal: Segunda llei de Gay-Lussac

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}{\cfrac {P_{1}\cdot V_{1}}{T_{1}\cdot n_{1}}}={\cfrac {P_{2}\cdot V_{2}}{T_{2}\cdot n_{2}}}\\\;\\n={\rm {Constante}}\\V={\rm {Constante}}\end{array}}\right\}\longrightarrow {\cfrac {P_{1}}{T_{1}}}={\cfrac {P_{2}}{T_{2}}}}$

Principiu de Avogadro

Artículu principal: Llei de Avogadro

El principiu de Avogadro foi espuesta por Amedeo Avogadro en 1811 y complementaba a les de Boyle, Charles y Gay-Lussac. Asegura que nun procesu a presión y temperatura constante (isobaro y isotermo), el volume de cualquier gas ye proporcional al númberu de moles presente, talmente que:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}{\cfrac {P_{1}\cdot V_{1}}{T_{1}\cdot n_{1}}}={\cfrac {P_{2}\cdot V_{2}}{T_{2}\cdot n_{2}}}\\\;\\T={\rm {Constante}}\\P={\rm {Constante}}\end{array}}\right\}\longrightarrow {\cfrac {V_{1}}{n_{1}}}={\cfrac {V_{2}}{n_{2}}}}$

Esta ecuación ye válida inclusive pa gases ideales distintos. Una forma alternativa d'enunciar esta llei ye:

El volume qu'ocupa un mol de cualesquier gas ideal a una temperatura y presión daes siempres ye'l mesmu.'

Formes alternatives

Como la cantidá de sustancia podría ser dada en masa en llugar de moles, dacuando ye útil una forma alternativa de la llei del gas ideal. El númberu de moles (n) ye igual a la masa (m) estremáu pola masa molar (M):

${\displaystyle n={\frac {m}{M}}}$

y sustituyendo ${\displaystyle n\,}$, llogramos:

${\displaystyle PV={\frac {m}{M}}RT}$

onde:

${\displaystyle P=\rho {\frac {R}{M}}T}$

D'esta forma, la llei del gas ideal ye bien útil porque se venceya la presión, la densidá ρ = m/ V, y la temperatura nuna fórmula única, independiente de la cantidá del gas considerao.

En mecánica estadística les ecuaciones moleculares siguientes derivar de los principios básicos:

${\displaystyle \ PV=NkT.}$

Equí k ye'l constante de Boltzmann y N ye'l númberu real de molécules, a diferencia de la otra fórmula, qu'utiliza n, el númberu de moles. Esta rellación implica que Nk = nR, y la coherencia d'esta resultancia col esperimentu ye una bona comprobación nos principios de la mecánica estadística.

Dende equí podemos reparar que por que una masa de la partícula permediu de μ vegaes la constante de masa atómico m _O (esto ye, la masa ye μ O)

${\displaystyle N={\frac {m}{\mu m_{\mathrm {o} }}}}$

y dende ρ = m/ V, atopamos con que la llei del gas ideal puede escribise como:

${\displaystyle P={\frac {1}{V}}{\frac {m}{\mu \;m_{o}}}kT=\rho {\frac {k}{\mu \;m_{o}}}T}$

Derivaciones

Empíriques

La llei de gases ideales puede derivase de la combinación de dos ley de gases empíriques: la llei xeneral de los gases y la llei de Avogadro.

${\displaystyle {\frac {PV}{T}}=K}$

onde K ye una constante que ye direutamente proporcional a la cantidá de gas, n (llei de Avogadro). El factor de proporcionalidad ye la constante universal de gases, R, i.e. K = nR.

D'ende que la llei de los gases ideales

${\displaystyle PV=nRT\,}$

Teóriques

La llei del gas ideal tamién puede derivase de los primeros principios utilizando la teoría cinética de los gases, nel que se realicen dellos supuestos simplificadores, ente los que les molécules o átomos del gas son mases puntuales, tienen masa pero non volume significativo, y sométense a choques elásticos namái ente sigo y colos llaos del recipiente nel que se caltién tantu la cantidá de movimientu como la enerxía cinética.

- Puede faese una derivación entá más simple prescindiendo de dalgunos d'estos supuestos, como s'aldericó en la derivación de la llei del gas ideal. Namái se precisa la definición de temperatura, que'l númberu de partícules sía fixu, que'l volume de la dependencia de les enerxíes de la so interacción sía insignificante, y que'l númberu d'estaos disponibles pa cada partícula a una temperatura fixo sía proporcional al volume.) Como en toles derivaciones termodinámiques, asumir la segunda llei (maximización de la entropía dientro de les llimitaciones). Nun hai hipótesis sobre los choques elásticos ríquense, lo cual ye bonu una y bones estos supuestos son irreales ya irrelevantes pal estáu de los gases ideales.

Dende la mecánica estadística

Sía ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}=(q_{x},q_{y},q_{z})}$ y ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=(p_{x},p_{y},p_{z})}$ el vector de posición y el vector del movimientu d'una partícula d'un gas ideal, respeutivamente. Sía F la fuercia neto sobre la partícula. Entós, el tiempu mediu d'impulsu de la partícula ye:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {F} \rangle &=\left\langle q_{x}{\frac {dp_{x}}{dt}}\right\rangle +\left\langle q_{y}{\frac {dp_{y}}{dt}}\right\rangle +\left\langle q_{z}{\frac {dp_{z}}{dt}}\right\rangle \\&=-\left\langle q_{x}{\frac {\partial H}{\partial q_{x}}}\right\rangle -\left\langle q_{y}{\frac {\partial H}{\partial q_{y}}}\right\rangle -\left\langle q_{z}{\frac {\partial H}{\partial q_{z}}}\right\rangle =-3k_{B}T\end{aligned}}}$

onde la primer igualdá ye la segunda llei de Newton, y la de segunda llinia usa la ecuación de Hamilton y el teorema de equipartición. Sumando sobre un sistema de ${\displaystyle N}$, los rendimientos de les partícules

${\displaystyle 3Nk_{B}T=-\left\langle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}\right\rangle }$

Por tercer llei de Newton y la hipótesis del gas ideal, la fuercia neto sobre'l sistema ye la fuercia aplicao polos murios del so contenedor y esta fuercia ta dada pola presión ${\displaystyle P}$ del gas. Polo tanto:

${\displaystyle -\left\langle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}\right\rangle =P\oint _{\mathrm {superficie} }\mathbf {q} \cdot d\mathbf {S} }$

Onde ${\displaystyle dS}$ ye l'elementu d'área infinitesimal a lo llargo de les parés del recipiente. Dende'l diverxencia de la posicición ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ del vector ye : ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} ={\frac {\partial q_{x}}{\partial q_{x}}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial q_{y}}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial q_{z}}}=3}$

el teorema de la diverxencia implica que : ${\displaystyle P\oint _{\mathrm {superficie} }\mathbf {q} \cdot d\mathbf {S} =P\int _{\mathrm {volume} }\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} \right)dV=3PV}$

onde ${\displaystyle dV}$ ye un volume infinitesimal dientro del contenedor y ${\displaystyle V}$ ye'l volume total del contenedor.

Poniendo estes igualdaes xuntes produz

${\displaystyle 3Nk_{B}T=-\left\langle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}\right\rangle =3PV}$

que darréu implica la llei del gas ideal pa ${\displaystyle N}$ partícules:

${\displaystyle PV=Nk_{B}T=nRT\,}$.

onde n = N/N_A ye'l númberu de moles de gas y R = N_Ak_B ye la constante de los gases.

Los llectores pueden consultar l'artículu comprensivu en: Configuración integral (mecánica estadística), onde s'apurre una derivación mecánica estadística alternativa de la llei de los gases ideales, utilizando la rellación ente la enerxía llibre de Helmholtz y la función de partición, pero ensin usar el teorema de equipartición.

Ver tamién

• Llei de los gases reales
• Llei xeneral de los gases
• Númberu de Avogadro
• Teoría cinética

Referencies

1. Krönig, A. (1856). «Grundzüge einer Theorie der Gase». Annalen der Physik 99 (10):  páxs. 315–22. doi:10.1002/andp.18561751008. Bibcode: 1856AnP...175..315K.  (n'alemán) Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 315–22).
2. Clausius, R. (1857). «Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen». Annalen der Physik und Chemie 176:  páxs. 353–79. doi:10.1002/andp.18571760302. Bibcode: 1857AnP...176..353C. http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15185v/f371.table. 
3. Mendeleev, D. I. (1874). «О сжимаемости газов (Na compresibilidad de los gases)». Russian Journal of Chemical Society and the Physical Society 6:  páxs. 309–352.  (en rusu) (From the Laboratory of the University of St. Petersburg).
4. Mendeleev, D. I. (1875). «Об упругости газов (Na compresibilidad de los gases)». Facsimile at the Bibliothèque nationale de France. http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k95208b.r=mendeleev.langEN. 
5. Mendeleef D. (1877). «Researches on Mariotte's Law». Nature 15 (388):  páxs. 498–500. doi:10.1038/015498a0. Bibcode: 1877Natur..15..498D.  doi: 10.1038/015498a0.
6. Clapeyron, Y. (1834). «Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 153–90). Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur» (en francés). Journal de l'École Polytechnique XIV:  páxs. 153–90. http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4336791/f157.table Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 153–90).. 
7. «Equation of State» (inglés). Consultáu'l 28 de setiembre de 2013.

Bibliografía

• Schiavello, Mario; Vicente Ribes, Leonardo Palmisano (2003). Fundamento de Química. Barcelona: Editorial Ariel, S.A.. ISBN 978-84-344-8063-6.
• Rogero, Abrahams; Antoine DuChamper, Alexander Planz (1987). Modelos de predicción molecular pa inxenieros.

Enllaces esternos

• Valores de la constante de los gases del NIST

• Datos: Q191785
• Multimedia: Ideal gas law