معادلة لابلاس (بالإنجليزية : Laplace's equation ) معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الثانية سميت عرفانا للرياضياتي الفرنسي بيير لابلاس الذي يعد أول من درس خواص هذه المعادلة والتي تأخذ الشكل التالي.[ 1] [ 2]
Δ Δ -->
φ φ -->
=
0
{\displaystyle \Delta \varphi =0}
أو
∇ ∇ -->
2
φ φ -->
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0}
حيث
Δ Δ -->
{\displaystyle \Delta }
تكافئ
∇ ∇ -->
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
وهي رمز مؤثر لابلاس (لابلاسي ) فيما
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
تمثل أي دالة رياضية سلمية . وتعد معادلة لابلاس أبسط المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الثانية كما أنها تعد كذلك حالة خاصة من معادلة هلمهولتز (عندما
k
=
0
{\displaystyle k=0}
). وكذلك تعد حالة خاصة من معادلة بواسون (عندما
f
=
0
{\displaystyle f=0}
). وأي دالة تمثل حلا لمعادلة لابلاس تدعى دالة متوافقة . ظهر أول استعمال لها في الميكانيكا التقليدية ثم تطور استعمالها ووجدت تطبيقات لها في علم الفلك والكهرباء الساكنة وميكانيكا الموائع ومعادلة الحرارة والانتشار والحركة البراونية وكذلك ميكانيكا الكم .
التعريف
في الأبعاد الثلاثية، وبافتراض أن
f
{\displaystyle \scriptstyle f}
, دالة بمتغيرات حقيقية x , y , z فإن معادلة تكون على الشكل التالي:
في الإحداثيات الديكارتية
Δ Δ -->
f
=
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
x
2
+
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
y
2
+
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
z
2
=
0.
{\displaystyle \Delta f={\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0.}
في الإحداثيات الإسطوانية ,
Δ Δ -->
f
=
1
r
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
r
(
r
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
r
)
+
1
r
2
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
ϕ ϕ -->
2
+
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
z
2
=
0
{\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0}
في الإحداثيات الكروية ,
Δ Δ -->
f
=
1
ρ ρ -->
2
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
ρ ρ -->
(
ρ ρ -->
2
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
ρ ρ -->
)
+
1
ρ ρ -->
2
sin
-->
θ θ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
θ θ -->
(
sin
-->
θ θ -->
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
θ θ -->
)
+
1
ρ ρ -->
2
sin
2
-->
θ θ -->
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
φ φ -->
2
=
0.
{\displaystyle \Delta f={1 \over \rho ^{2}}{\partial \over \partial \rho }\!\left(\rho ^{2}{\partial f \over \partial \rho }\right)\!+\!{1 \over \rho ^{2}\!\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\!\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)\!+\!{1 \over \rho ^{2}\!\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0.}
وتكتب حسب الآتي
∇ ∇ -->
2
φ φ -->
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0\,}
أو خاصة في سياق أعم:
Δ Δ -->
φ φ -->
=
0
,
{\displaystyle \Delta \varphi =0,\,}
حيث ∆ = ∇² هما مؤثر لابلاس أو «لابلاسي»
Δ Δ -->
φ φ -->
=
∇ ∇ -->
2
φ φ -->
=
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
∇ ∇ -->
φ φ -->
=
div
grad
φ φ -->
,
{\displaystyle \Delta \varphi =\nabla ^{2}\varphi =\nabla \cdot \nabla \varphi =\operatorname {div} \;\operatorname {grad} \,\varphi ,}
حيث ∇ ⋅ = div هي التباعد ، و∇ = grad يمثل التدرج .
أما إذا كان الطرف الأيمن للمعادلة يحتوي على الدالة f (x , y , z ), فإن المعادلة تكتب على الشكل التالي
Δ Δ -->
φ φ -->
=
f
{\displaystyle \Delta \varphi =f\,}
وهذه هي «معادلة بواسون ».
مراجع