جوزيف بيرتران
في نظرية الأعداد ، مُسَلمة بيرتراند (بالإنجليزية : Bertrand's postulate ) هي حاليا مبرهنة تنص على أنه إذا كان
n
{\displaystyle n}
عددا صحيحا أكبر قطعا من 3، فإنه يوجد على الأقل عدد أولي
p
{\displaystyle p}
n
<
p
<
2
n
− − -->
2
{\displaystyle n<p<2n-2}
يمكن الإستنتاج من هذه المبرهنة أن :
p
n
+
1
<
2
p
n
{\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}}
يمكن أن يُعبر عن مبرهنة تشيبيشيف باستعمال الدالة المعدة للأعداد الأولية
π π -->
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
π π -->
(
x
)
− − -->
π π -->
(
x
2
)
≥ ≥ -->
1
{\displaystyle \pi (x)-\pi {\bigl (}{\tfrac {x}{2}}{\bigr )}\geq 1}
x
≥ ≥ -->
2
{\displaystyle x\geq 2}
حَدس هذه الحدسيةَ لأول مرة عالمُ الرياضيات الفرنسي جوزيف بيرتراند (1822-1900) [ 1] [ 2] زمر التبديلات ، وبعد أن تحقق من صحتها إلى حدود ستة ملايين.
بَرهن على هذه الحدسية بشكل كامل بافنوتي تشيبيشيف ، عام 1850، بعد أن استعمل تقريب ستيرلينغ الذي يمكن من الاقتراب من دالة العاملي .
انظر إلى مبرهنة الأعداد الأولية .
لتكن الدالة المعرفة كما يلي:
θ θ -->
(
x
)
=
∑ ∑ -->
p
∈ ∈ -->
P
;
p
≤ ≤ -->
x
ln
-->
p
{\displaystyle \theta (x)=\sum _{p\in \mathbb {P} ;\,p\leq x}\ln p}
θ (x )مهما يكن
n
≥ ≥ -->
1
{\displaystyle n\geq 1}
θ θ -->
(
n
)
<
n
ln
-->
4
{\displaystyle \qquad \theta (n)<n\ln 4}
يُبرهن على هذه المسألة باستعمال الاستقراء الرياضي .
في عام 1919، استعمل رامانجن (1897-1920) خصائص دالة غاما من أجل إعطاء برهان أبسط. انظر إلى عدد رامانجن الأولي .
2
p
i
− − -->
n
>
p
i
for
i
>
k
where
k
=
π π -->
(
p
k
)
=
π π -->
(
R
n
)
,
{\displaystyle 2p_{i-n}>p_{i}{\text{ for }}i>k{\text{ where }}k=\pi (p_{k})=\pi (R_{n})\,,}
