مبرهنة فارينيون (ميكانيكا)

مبرهنة فارينون (بالإنجليزية:Varignon Theorem) هي مبرهنة وضعها عالم الرياضيات الفرنسي بيير فارينيون (1654م-1722م)، نًشرت عام 1687م في كتابه "Projet d'une nouvelle mécanique". تنص المبرهنة على أن عزم القوة عند أي نقطة يكون مساويًا لمجموع العزوم لمركباتها عند النقطة نفسها.^[1]

الإثبات

في مجموعة ${\displaystyle N}$ من متجهات القوة ${\displaystyle \mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},...,\mathbf {f} _{N}}$ التي تتفق في نقطة ما ${\displaystyle \mathbf {O} }$ في الفضاء. تكون محصلتها :

${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {f} _{i}}$.

عزم الدوران لكل متجه فيما يتعلق بنقطة أخرى ${\displaystyle \mathbf {O} _{1}}$ هو :

${\displaystyle \mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {f} _{i}}=(\mathbf {O} -\mathbf {O} _{1})\times \mathbf {f} _{i}}$.

إضافة عزم الدوران وسحب العامل المشترك ${\displaystyle (\mathbf {O} -\mathbf {O_{1}} )}$ يرى المرء أن النتيجة يمكن التعبير عنها فقط من حيث ${\displaystyle \mathbf {F} }$, وهو في الواقع عزم الدوران ${\displaystyle \mathbf {F} }$ فيما يتعلق بهذه النقطة ${\displaystyle \mathbf {O} _{1}}$:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {f} _{i}}=(\mathbf {O} -\mathbf {O} _{1})\times \left(\sum _{i=1}^{N}\mathbf {f} _{i}\right)=(\mathbf {O} -\mathbf {O} _{1})\times \mathbf {F} =\mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {F} }}$.

إثبات المبرهنة، أي مجموع عزم الدوران ${\displaystyle \mathbf {O} _{1}}$ هو نفس عزم الدوران لمجموع القوى حول نفس النقطة.

المراجع

1. I. C. Jong, B. G. Rogers (1991). "Engineering Mechanics: Statics". مؤرشف من الأصل في 2020-01-27.

وصلات خارجية

• Varirgnon's Theorem at TheFreeDictionary.com
• Proof. Mechanics of Solids. S.S. Bhavikatti. (page 19)