قائمة قوائم التكاملات

هذه قائمة بتكاملات لمختلف الدوال في الرياضيات.^[1][2]

• قائمة تكاملات الدوال النسبية
• قائمة تكاملات الدوال غير النسبية
• قائمة تكاملات الدوال المثلثية
• قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية
• قائمة تكاملات الدوال الأسية
• قائمة تكاملات الدوال اللوغارتمية
• قائمة تكاملات الدوال الزائدية
• قائمة تكاملات الدوال الزائدية العكسية

قواعد مكاملة الدوال العامة

${\displaystyle \int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx}$

${\displaystyle \int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}$

${\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left(d[f(x)]\int g(x)\,dx\right)\,dx}$

${\displaystyle \int af(y)\,dy=a\int f(y)\,dy}$

${\displaystyle \int [f(y)+g(y)]\,dy=\int f(y)\,dy+\int g(y)\,dy}$

${\displaystyle \int f(y)g(y)\,dy=f(y)\int g(y)\,dy-\int \left(d[f(y)]\int g(y)\,dy\right)\,dy}$

تكاملات الدوال البسيطة

قائمة تكاملات الدوال غير النسبية

المقالة الرئيسة: قائمة تكاملات الدوال غير النسبية

${\displaystyle \int {du \over {\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}=\arcsin {u \over a}+C}$

${\displaystyle \int {-du \over {\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}=\arccos {u \over a}+C}$

${\displaystyle \int {du \over u{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}{\mbox{arcsec}}\,{|u| \over a}+C}$

اللوغاريتمات

المقالة الرئيسة: قائمة تكاملات الدوال اللوغارتمية

${\displaystyle \int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C}$

${\displaystyle \int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C}$

الدوال الأسية

المقالة الرئيسة: قائمة تكاملات الدوال الأسية

${\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}$

${\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}$

الدوال المثلثية

المقالة الرئيسة: قائمة تكاملات الدوال المثلثية

المقالة الرئيسة: قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية

${\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}$

${\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}$

${\displaystyle \int \tan {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \csc {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C}$

${\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C}$

${\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C}$

${\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C}$

${\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C}$

${\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C}$

${\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx}$

${\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx=-{\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}$

${\displaystyle \int \arctan {x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C}$

دوال القطع الزائد

المقالة الرئيسة: قائمة تكاملات الدوال الزائدية

${\displaystyle \int \sinh x\,dx=\cosh x+C}$

${\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C}$

${\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C}$

${\displaystyle \int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C}$

${\displaystyle \int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C}$

${\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C}$

تكاملات محددة

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}$ (أنظر أيضا دالة غاما)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ (أنظر أيضا عدد بيرنولي)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)}$ (حيث ${\displaystyle \Gamma (z)}$ هي دالة غاما.)

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}$

انظر

• قائمة المتسلسلات الرياضياتية
• حلم الطالب الجامعي

مراجع

1. "معلومات عن قائمة التكاملات على موقع jstor.org". jstor.org. مؤرشف من الأصل في 2020-07-27.
2. "معلومات عن قائمة التكاملات على موقع d-nb.info". d-nb.info. مؤرشف من الأصل في 2020-07-22.