فجوة أولية

توزيع الأعداد الأولية حتى 1.6 مليار. تحدث القمم عند مضاعفات الرقم 6.^[1]

الفجوة الأولية هي الفرق بين عددين أوليين متتابعين. الفجوة الأولية النونية، والمشار إليها ب${\displaystyle g_{n}}$ أو ${\displaystyle g(p_{n})}$ هي الفرق بين${\displaystyle p_{n}}$ و ${\displaystyle p_{n+1}}$، أي :

${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$

لدينا ${\displaystyle g_{1}=1}$، و ${\displaystyle g_{3}=g_{2}=2}$،${\displaystyle g_{4}=4.}$ و تمت دراسة المتتالية (${\displaystyle g_{n}}$) على نطاق واسع ؛ ومع ذلك، تظل العديد من الأسئلة والحدسيات دون إجابة.

أول 60 فجوة أولية هي:

1، 2، 2، 4، 2، 4، 2، 4، 6، 2، 6، 4، 2، 4، 6، 6، 2، 6، 4، 2، 6، 4، 6، 8، 4، 2، 4، 2، 4، 14، 4، 6، 2، 10، 2، 6، 6، 4، 6، 6، 2، 10، 2، 4، 2، 12، 12، 4، 2، 4، 6، 2، 10، 6، 6، 6، 2، 6، 4، 2،...^[2]

من خلال التعريف الذي أعطيناه ل ${\displaystyle g_{n}}$، يمكن كتابة أي عدد أولي على الشكل الآتي :

${\displaystyle p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}.}$

ملاحظات بسيطة

أول وأصغر فجوة أولية هي بحجم 1، وهي فجوة بين 2 العدد الأولي الزوجي الوحيد، و 3، أول عدد أولي فردي. جميع الفجوات الأولية الأخرى هي زوجية. يوجد زوج واحد فقط من الفجوات المتتالية بحجم 2 : الفجوات ${\displaystyle g_{2}}$ و ${\displaystyle g_{3}}$ بين الأعداد الأولية 3 و 5 و 7.

لأي عدد صحيح، العاملي، والذي يرمز له ب ${\displaystyle n!}$ هو ناتج ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر أو تساوي ${\displaystyle n}$. إذاً المتتالية :

${\displaystyle n!+2,n!+3,\ldots ,n!+n}$

العدد الأول في هذه المتتالية يقبل القسمة على 2، والعدد الثاني يقبل القسمة على 3، وهكذا... وبالتالي، فهذه متتالية بحجم ${\displaystyle n-1}$ من الأعداد الصحيحة المؤلف المتتالية، وهذه ببساطة فجوة بين الأعداد الأولية، طولها ${\displaystyle n}$ على الأقل. ويترتب على ذلك وجود فجوات بين الأعداد الأولية كبيرة للغاية بشكل إستعباطي، أي أنه بالنسبة لأي عدد صحيح ${\displaystyle N}$، يوجد عدد صحيح موجب ${\displaystyle m}$ بحيث ${\displaystyle g_{m}\geq N}$.

ومع ذلك، يمكن أن تحدث الفجوات الكبيرة بين الأعداد الأولية عند عدد أصغر بكثير من ${\displaystyle n!}$ على سبيل المثال، أول فجوة أولية بحجم أكبر من 14 تحدث بين الأعداد الأولية 523 و 541، في حين أن ${\displaystyle 15!}$ هو عدد كبير بشكل شاسع ${\displaystyle 1307674368000}$.

نتائج عددية

عادة ما يُطلق على النسبة ${\displaystyle {\frac {g_{n}}{\ln(p_{n})}}}$ «ميزة الفجوة ${\displaystyle g_{n}}$».

نقول أن ${\displaystyle g_{n}}$ هي فجوة قصوى، إذا وإذا كان فقط ${\displaystyle g_{m}<g_{n}}$ لكل ${\displaystyle m<n}$، في أغسطس 2018 وجد برتيل نيمان أكبر فجوة قصوى وتحتوي على 1550 رقم، تحدث هذه الفجوة بعد العدد الأولي 18361375334787046697.^[3] يمكن الإطلاع على فجوات قصوى أخرى في OEIS.

هذه قائمة الفجوات القصوى :

الأعداد من 1 إلى 80

الأعداد من 1 إلى 27 # gn pn n 1 1 2 1 2 2 3 2 3 4 7 4 4 6 23 9 5 8 89 24 6 14 113 30 7 18 523 99 8 20 887 154 9 22 1,129 189 10 34 1,327 217 11 36 9,551 1,183 12 44 15,683 1,831 13 52 19,609 2,225 14 72 31,397 3,385 15 86 155,921 14,357 16 96 360,653 30,802 17 112 370,261 31,545 18 114 492,113 40,933 19 118 1,349,533 103,520 20 132 1,357,201 104,071 21 148 2,010,733 149,689 22 154 4,652,353 325,852 23 180 17,051,707 1,094,421 24 210 20,831,323 1,319,945 25 220 47,326,693 2,850,174 26 222 122,164,747 6,957,876 27 234 189,695,659 10,539,432

الأعداد من 28 إلى 54 # gn pn n 28 248 191,912,783 10,655,462 29 250 387,096,133 20,684,332 30 282 436,273,009 23,163,298 31 288 1,294,268,491 64,955,634 32 292 1,453,168,141 72,507,380 33 320 2,300,942,549 112,228,683 34 336 3,842,610,773 182,837,804 35 354 4,302,407,359 203,615,628 36 382 10,726,904,659 486,570,087 37 384 20,678,048,297 910,774,004 38 394 22,367,084,959 981,765,347 39 456 25,056,082,087 1,094,330,259 40 464 42,652,618,343 1,820,471,368 41 468 127,976,334,671 5,217,031,687 42 474 182,226,896,239 7,322,882,472 43 486 241,160,624,143 9,583,057,667 44 490 297,501,075,799 11,723,859,927 45 500 303,371,455,241 11,945,986,786 46 514 304,599,508,537 11,992,433,550 47 516 416,608,695,821 16,202,238,656 48 532 461,690,510,011 17,883,926,781 49 534 614,487,453,523 23,541,455,083 50 540 738,832,927,927 28,106,444,830 51 582 1,346,294,310,749 50,070,452,577 52 588 1,408,695,493,609 52,302,956,123 53 602 1,968,188,556,461 72,178,455,400 54 652 2,614,941,710,599 94,906,079,600

الأعداد من من 55 إلى 80 # gn pn n 55 674 7,177,162,611,713 251,265,078,335 56 716 13,829,048,559,701 473,258,870,471 57 766 19,581,334,192,423 662,221,289,043 58 778 42,842,283,925,351 1,411,461,642,343 59 804 90,874,329,411,493 2,921,439,731,020 60 806 171,231,342,420,521 5,394,763,455,325 61 906 218,209,405,436,543 6,822,667,965,940 62 916 1,189,459,969,825,483 35,315,870,460,455 63 924 1,686,994,940,955,803 49,573,167,413,483 64 1,132 1,693,182,318,746,371 49,749,629,143,526 65 1,184 43,841,547,845,541,059 1,175,661,926,421,598 66 1,198 55,350,776,431,903,243 1,475,067,052,906,945 67 1,220 80,873,624,627,234,849 2,133,658,100,875,638 68 1,224 203,986,478,517,455,989 5,253,374,014,230,870 69 1,248 218,034,721,194,214,273 5,605,544,222,945,291 70 1,272 305,405,826,521,087,869 7,784,313,111,002,702 71 1,328 352,521,223,451,364,323 8,952,449,214,971,382 72 1,356 401,429,925,999,153,707 10,160,960,128,667,332 73 1,370 418,032,645,936,712,127 10,570,355,884,548,334 74 1,442 804,212,830,686,677,669 20,004,097,201,301,079 75 1,476 1,425,172,824,437,699,411 34,952,141,021,660,495 76 1,488 5,733,241,593,241,196,731 135,962,332,505,694,894 77 1,510 6,787,988,999,657,777,797 160,332,893,561,542,066 78 1,526 15,570,628,755,536,096,243 360,701,908,268,316,580 79 1,530 17,678,654,157,568,189,057 408,333,670,434,942,092 80 1,550 18,361,375,334,787,046,697 423,731,791,997,205,041

نتائج متقدمة

الحد الأعلى

تنص مسلمة برنارد على أنه يوجد دائما عدد أولي بين ${\displaystyle k}$ و ${\displaystyle 2k}$، وهذا يعني أن ${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}}$ وبالتالي ${\displaystyle g_{n}<p_{n}}$.

تم إثبات مبرهنة الأعداد الأولية عام 1852، والتي تنص على أن متوسط الفجوة بين عددين أوليين متتابعين هو تقريبا ${\displaystyle \ln x}$ بالنسبة لعدد كبير ${\displaystyle x}$. الفجوة الحقيقية قد تختلف عن هذه النتيجة ومع ذالك يمكن للمرئ أن يستنتج منها الآتي :

لكل ${\displaystyle \epsilon >0}$، يوجد عدد ${\displaystyle N}$، بحيث لكل ${\displaystyle n>N}$ لدينا :

${\displaystyle g_{n}<p_{n}\epsilon }$.

يمكن للمرء أيضًا أن يستنتج أن الفجوات تصبح أصغر بشكل استعباطي مقارنةً مع حجم الأعداد الأولية : فحاصل القسمة :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.}$

في عام 2005 قام كل من دانيال غولدستون ويانوس بينتز وسيم يلدريم بإثبات الآتي :

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0}$

وبعد سنتين قاموا بتحسين هذه النتيجة إلى :

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .}$

وفي عام 2013 أثبت يتانغ تشانغ أن هناك على الأقل فجوة الأولية بحجمٍ أقل من سبعين مليون، بحيث أنها تتكرر عدداً لانهائياً من المرات، أي أن :

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7}}$

الحد الأدنى

في عام 1931، قام إريك ويستزينثيوس بإثبات أن الفجوات الأولية القصوى تنموا بشكل أسرع من اللوغاريتمي، أي أن :

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .}$

في عام 1938، أثبت روبرت رانكين وجود ثابت ${\displaystyle c>0}$، بحيث المتفاوتة الآتية :

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\log n\log \log n\log \log \log \log n}{(\log \log \log n)^{2}}}}$

صحيحة من أجل عدد لانهائي من قيم ${\displaystyle n}$، محسناً نتائج بول إيردوس و ويستزينثيوس، أثبت لاحقا أنه يمكن ل ${\displaystyle c<e^{\gamma }}$, بحيث ${\displaystyle \gamma }$ هو ثابت أويلر-ماسكيروني. عرض بول إيردوس جائزة قدرها 10000 دولار لإثبات أو دحض أن الثابت ${\displaystyle c}$ يمكن أن يكون كبيراً بشكل استعباطي. تم إثبات صحة ذلك في عام 2014 من طرف فورد-جرين-كونياجين-تاو، وبشكل مستقل، جيمس ماينارد^[4]، وتم تحسين النتيجة إلى^[5]

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\log n\log \log n\log \log \log \log n}{\log \log \log n}}}$

متأثراً بجائزة إيردوس الأصلية، عرض تيرنس تاو جائزة قدرها 10000 دولار أمريكي لمن أثبت أن ${\displaystyle c}$ يمكن أن يأخذ كبيراً بشكل استعباطي في هذه المتفاوتة.

حدسيات عن الفجوات الأولية

يمكن تحقيق نتائج أفضل في ظل فرضية ريمان. أثبت هارالد كرامر أنه إذا كانت فرضية ريمان صحيحة فهذا يعني أن الفجوة ${\displaystyle g_{n}}$ تستوفي المعادلة الآتية:

${\displaystyle g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n})}$

بحيث ترمز ${\displaystyle O}$ إلى تمثيل O الكبرى، بعدها قام كرامر بحدس أن الفجوة تستوفي أيضا المعادلة الآتية :

${\displaystyle g_{n}=O\left((\log p_{n})^{2}\right).}$

تنص حدسية فيروزباخت على أن ${\displaystyle p_{n}^{1/n}}$ هي دالة تناقصية قطعياً، أي أن :

${\displaystyle p_{n+1}^{1/(n+1)}<p_{n}^{1/n}}$ لكل ${\displaystyle n\geq 1}$

إذا كانت هذه الحدسية صحيحة فإن فإن دالة الفجوة الأولية ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$ تستوفي المتفاوتة ${\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}}$ لكل ${\displaystyle n>4}$^[6] هذه الحدسية تشير إلى نسخة قوية من حدسية كرامر ولكنها لا تتوافق مع اقتراح غرانفيل وبينتز الذي ينص على أن التفاوتة ${\displaystyle g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}}$ صحيحة لعدد لانهائي من ${\displaystyle n}$، لكل ${\displaystyle \varepsilon >0}$، بحيث ${\displaystyle \gamma }$ هو ثابت أويلر-ماسكيروني. وفي الوقت نفسه ، حدسية أوبيرمان هي أضعف من حدسية كرامر. والتي تنص على أن حجم الفجوة الأولية هي في حدود :

${\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}}$

إذا كانت حدسية أوبيرمان صحيحة ، فإنه يوجد ${\displaystyle m}$ (على الأرجح ${\displaystyle m=30}$) بحيث لكل ${\displaystyle n>m}$ لدينا ${\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}}$.

انظر أيضا

• عددان أوليان توأم
• عدد أولي.

مراجع

1. "Hidden structure in the randomness of the prime number sequence?", S. Ares & M. Castro, 2005
2. "Prime gaps: differences between consecutive primes". OEIS. مؤرشف من الأصل في 2021-05-06.
3. "NEW MAXIMAL PRIME GAPS OF 1530 AND 1550". مؤرشف من الأصل في 2021-04-30.
4. Maynard، James. "Large Gaps Between Primes". مؤرشف من الأصل في 2021-05-06.
5. Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin,، James Maynard, Terence Tao. "Long gaps between primes". مؤرشف من الأصل في 2021-05-06.
6. Sinha، Nilotpal Kanti (2010). "On a new property of primes that leads to a generalization of Cramer's conjecture". arXiv:1010.1399 [math.NT]. {{استشهاد بأرخايف}}: الوسيط |arxiv= مطلوب (مساعدة).