متباينة المجموع لتشيبيشيف

  ميّز عن متراجحة تشيبيشيف.

في الرياضيات، متراجحة المجموع لتشيبيشيف (بالإنجليزية: Chebyshev's sum inequality)‏ المسماة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الروسي بافنوتي تشيبيشيف، تنص على ما يلي: إذا توفر

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}$

و

${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}$

فإن

${\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}$

وبشكل مشابه، إذا توفر

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n}}$

و

${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}$

فإن

${\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}$^[1]

البرهان

ليكن المجموع التالي

${\displaystyle S=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}(a_{j}-a_{k})(b_{j}-b_{k}).}$

The two sequences are non-increasing, therefore a_j − a_k and b_j − b_k have the same sign for any j, k. Hence S ≥ 0.

Opening the brackets, we deduce:

${\displaystyle 0\leq 2n\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}-2\sum _{j=1}^{n}a_{j}\,\sum _{k=1}^{n}b_{k},}$

whence

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}\geq \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\right)\,\left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}b_{k}\right).}$

An alternative proof is simply obtained with the rearrangement inequality.

الصيغة المتصلة

هناك أيضا صيغة متصلة لمتراجحة المجموع لتشيبيشيف.

إذا كانت f وg دالتين ذات قيم حقيقية وقابلتين للتكامل على المجال [0,1], كلاهما تنازلي، أو كلاهما تصاعدي، فإن:

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)g(x)dx\geq \int _{0}^{1}f(x)dx\int _{0}^{1}g(x)dx,\,}$

with the inequality reversed if one is non-increasing and the other is non-decreasing.

مراجع

1. Hardy، G. H.؛ Littlewood، J. E.؛ Pólya، G. (1988). Inequalities. Cambridge Mathematical Library. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN:0-521-35880-9. MR:0944909.