التعبير الرياضياتي للجذر التربيعي للعدد "x". في الرياضيات ، الجذر التربيعي أو جذر مربع للعدد x هو العدد الحقيقي الموجب y الذي إذا ضُرِب في نفسه يُنتج العدد x. على سبيل المثال:
9
=
3
o
r
− − -->
3
{\displaystyle {\sqrt {9}}=3or-3}
3
2
=
3
× × -->
3
=
9
{\displaystyle 3^{2}=3\times 3=9}
الجذر التربيعي للعدد المربع الكامل 25 هو 5 أو 5 - ؛ لأن 5×5 = 5² = 25، ويقال: 5×5 هي عملية تربيع للعدد 5، أو يمكن القول 5- * 5-=25، ولا يوجد جذر تربيعي للأعداد السالبة ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية .[ 1]
أول من استعمل الرمز '√' للإشارة إلى الجذر التربيعي هو كريستوف رودولف وكان ذلك عام 1525.[ 2] ديكارت على هذا الرمز فيما بعد، تغييرا طفيفا يتمثل في الخط الأفقي الذي يغطي العدد أو الصيغة التي يطبق عليها الجذر التربيعي، صائرا
.
.
.
{\displaystyle {\sqrt {...}}}
x
2
=
|
x
|
=
{
x
,
if
x
≥ ≥ -->
0
− − -->
x
,
if
x
≤ ≤ -->
0
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x\leq 0\end{cases}}}
من أجل أي عددين حقيقين موجبين x ، y يتحقق
x
y
=
x
y
{\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}
و
x
=
x
1
2
.
{\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}.}
يعطى مشتق تابع الجذر التربيعي بالعلاقة:
f
′
(
x
)
=
1
2
x
.
{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.}
تعطى سلسلة تايلور للحد
1
+
x
{\displaystyle {\sqrt {1+x}}}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
1
+
x
=
1
+
1
2
x
− − -->
1
8
x
2
+
1
16
x
3
− − -->
5
128
x
4
+
… … -->
{\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots \!}
الفرع الأول من الجذر التربيعي لعدد عقدي
الفرع الثاني من الجذر التربيعي لعدد عقدي
Using the
سطح ريمان of the square root, it is shown how the two leaves fit together
انظر إلى سطح ريمان
الجذور التربيعية ل i يُعطى الجذر التربيعي ل i
i
=
1
2
2
+
i
1
2
2
=
2
2
(
1
+
i
)
.
{\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}+i{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}
يُمكن الحصول على هاته النتيجة جبريا من خلال البحث عن العددين الحقيقين a و b حيث
i
=
(
a
+
b
i
)
2
{\displaystyle i=(a+bi)^{2}\,\!}
أي
i
=
a
2
+
2
a
b
i
− − -->
b
2
.
{\displaystyle i=a^{2}+2abi-b^{2}.\,\!}
هذا يعطي المعادلتين المترابطتين التاليتين:
{
2
a
b
=
1
a
2
− − -->
b
2
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}2ab=1\,\!\\a^{2}-b^{2}=0\,\!\end{cases}}}
انظر إلى صيغة دي موافر .
x
+
i
y
=
x
2
+
y
2
+
x
2
± ± -->
i
x
2
+
y
2
− − -->
x
2
,
{\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{2}}},}
الأرقام التي لها جذر تربيعي في مجموعة الأعداد الصحيحة بالتسلسل:
1=1 أول رقم له جذر تربيعي
1 + 3 = 4 ثاني رقم له جذر تربيعي
1 + 3 + 5 = 9 ثالث رقم له جذر تربيعي
1 + 3 + 5 + 7 = 16 رابع رقم له جذر تربيعي
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 خامس رقم له جذر تربيعي
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 سادس رقم له جذر تربيعي
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 سابع عدد له جذر تربيعي
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13+ 15 = 64 ثامن عدد له جذر تربيعي
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13+ 15 + 17 = 81 تاسع عدد له جذر تربيعي
وهكذا بالتسلسل حلزونية ثيودوريس إلى حدود مثلث قائم زاوية وتره يساوي √4 1 = √1 )
