Transpos konjugat

Dalam matematika, transpos konjugat (bahasa Inggris: conjugate transpose) atau transpose Hermite (bahasa Inggris: Hermitian transpose) dari suatu matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ dengan entri-entri kompleks adalah matriks yang dihasilkan dengan melakukan transpos dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$ lalu mengambil konjugat kompleks dari setiap entrinya (konjugat kompleks dari ${\displaystyle a+ib}$ adalah ${\displaystyle a-ib}$, untuk sembarang bilangan real ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$). Nama lain dari transpos konjugat dari suatu matriks adalah konjugat Hermite, matriks adjoin, dan transjugat (transjugate). Matriks hasil operasi ini umum dinyatakan sebagai ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ atau ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$.^[1][2]

Untuk matriks real, transpos konjugat akan sama dengan operasi transpos biasa, ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}}$.

Definisi

Transpos konjugat dari suatu matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ berukuran ${\displaystyle m\times n}$ secara formal didefinisikan sebagai

$${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)_{ij}={\overline {\mathbf {A} _{ji}}}}$$

dengan indeks ${\displaystyle ij}$ menyatakan entri ke-${\displaystyle (i,j)}$ dari matriks, untuk ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ dan ${\displaystyle 1\leq j\leq m}$, dan overbar menyatakan konjugat kompleks pada skalar. Definisi tersebut juga dapat ditulis sebagai^[2]

$${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)^{\mathsf {T}}={\overline {\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}}}}$$

dengan ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}}$ menyatakan transpos, dan ${\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}}$ menyatakan matriks dengan entri-entri yang dikonjugasi kompleks. Transpos konjugat dari matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ dapat dinyatakan oleh beberapa simbol berikut:

• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$,^[2] dan ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$, yang umum digunakan dalam aljabar linear,
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }}$, umum digunakan dalam fisika kuantum, dan
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{+}}$, walau simbol ini lebih sering digunakan untuk invers Moore–Penrose

Dalam beberapa konteks, ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$ menyatakan matriks dengan yang entrinya hanya dikonjugasi kompleks dan tidak mengalami transpos matriks

Contoh

Misalkan kita ingin menghitung transpos konjugat dari matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ berikut:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}}$

Pertama kita melakukan transpos pada matriks,

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}}$

lalu kita mencari konjugat kompleks dari setiap entri pada matriks:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}}$

Motivasi

Transpos konjugat dapat dianggap sebagai perumuman konsep konjugat kompleks. Bilangan kompleks dapat direpresentasikan sebagai matriks real berukuran 2×2, yang juga memenuhi sifat penjumlahan dan perkalian matriks:$${\displaystyle a+ib\equiv {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.}$$Dengan demikian, perkalian bilangan kompleks ${\displaystyle z}$ di ${\displaystyle \mathbb {C} }$dapat dianggap sebagai transformasi linear pada diagram Argand (dilihat sebagai ruang vektor real ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) oleh matriks real berukuran 2×2. Lebih lanjut, konjugat kompleks dari ${\displaystyle z}$ dapat dilakukan dengan melakukan transpos pada representasi matriks berukuran 2×2-nya.

Hal ini mengartikan matriks berentri kompleks berukuran ${\displaystyle m\times n}$ juga dapat direpresentasikan dengan baik oleh matriks berentri real berukuran ${\displaystyle 2m\times 2n}$. Transpos konjugat muncul secara alami sebagai akibat mentranspos matriks real ini — yang dapat dilihat kembali sebagai matriks kompleks berukuran ${\displaystyle n\times m}$.

Sifat-sifat

• ${\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }+\mathbf {B} ^{\mathrm {H} }}$ untuk sembarang matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {B} }$ yang memiliki ukuran yang sama.
• ${\displaystyle (z\mathbf {A} )^{\mathrm {H} }={\overline {z}}\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ untuk sembarang bilangan kompleks ${\displaystyle z}$ dan sembarang matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ berukuran ${\displaystyle m\times n}$.
• ${\displaystyle (\mathbf {A} \mathbf {B} )^{\mathrm {H} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ untuk sembarang matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ berukuran ${\displaystyle m\times n}$ dan sembarang matriks ${\displaystyle \mathbf {B} }$ berukuran ${\displaystyle n\times p}$. Ingat bahwa urutan dari faktor dibalik.^[1]
• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} }$ funtuk sembarang matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ berukuran ${\displaystyle m\times n}$, dengan kata lain, transpos konjugat adalah suatu involusi.
• Jika ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah matriks persegi, maka ${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\det \left(\mathbf {A} \right)}}}$ dengan ${\displaystyle \operatorname {det} (A)}$ menyatakan determinan dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$ .
• Jika ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah matriks persegi, maka ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\operatorname {tr} (\mathbf {A} )}}}$ dengan ${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$ menyatakan trace dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$.
• ${\displaystyle \mathbf {A} }$ terbalikkan jika dan hanya jika ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ juga terbalikkan, dan dalam kasus tersebut, ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\mathrm {H} }}$.
• Nilai-nilai eigen dari ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ adalah konjugat kompleks dari nilai-nilai eigen dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$.
• ${\displaystyle \left\langle \mathbf {A} x,y\right\rangle _{m}=\left\langle x,\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }y\right\rangle _{n}}$ untuk sembarang matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ berukuran ${\displaystyle m\times n}$, sembarang vektor ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$, dan sembarang vektor ${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}$. Dalam persamaan ini, ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}}$ menyatakan hasil kali dalam kompleks pada ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$, dan serupa untuk notasi ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}}$.

Beberapa jenis matriks persegi juga dapat didefinisikan lewat transpos konjugatnya. Suatu matriks persegi ${\displaystyle \mathbf {A} }$ dengan entri-entri ${\displaystyle a_{ij}}$ disebut

• Hermite, jika ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$; yakni ketika ${\displaystyle a_{ij}={\overline {a_{ji}}}}$.
• Skew Hermitian atau antihermitian jika ${\displaystyle \mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$; yakni, ${\displaystyle a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}$.
• Normal jika ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$.
• Uniter jika ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{-1}}$, atau secara ekuivalen ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {I} }$, atau secara ekuilvalen ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} =\mathbf {I} }$.

Bahkan jika ${\displaystyle \mathbf {A} }$ bukan matriks persegi, kedua matriks ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ merupakan matriks Hermite, lebih tepatnya matriks semidefinit positif.

Referensi

1. Weisstein, Eric W. "Conjugate Transpose". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-09-08. 
2. "conjugate transpose". planetmath.org. Diakses tanggal 2020-09-08. 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Adjoint matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4