Konjugat kompleks

Representasi geometrik (diagram Argand) dari ${\displaystyle z}$ dan konjugatnya, ${\displaystyle {\overline {z}}}$, di bidang kompleks. Konjugat kompleks dihasilkan dengan merefleksikan ${\displaystyle z}$ terhadap sumbu real.

Dalam matematika, konjugat kompleks dari suatu bilangan kompleks adalah bilangan yang memiliki bagian real yang sama dan bagian imajiner yang sama namun berbeda tanda. Dengan kata lain, (jika ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ bilangan real, maka) konjugat kompleks dari ${\displaystyle a+bi}$ adalah ${\displaystyle a-bi.}$ Konjugat kompleks dari ${\displaystyle z}$ umum dinyatakan sebagai ${\displaystyle {\overline {z}}}$ atau ${\displaystyle z^{*}.}$ Dalam bentuk polar, konjugat dari ${\displaystyle re^{i\varphi }}$ adalah ${\displaystyle re^{-i\varphi }.}$ Hal ini dapat ditunjukkan dengan menggunakan rumus Euler.

Hasil perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya akan berupa bilangan real ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ (atau ${\displaystyle r^{2}}$ dalam koordinat polar).

Jika suatu polinomial satu variabel memiliki akar berupa bilangan kompleks, maka konjugat kompleksnya juga merupakan akar polinomial tersebut.

Notasi

Konjugat kompleks dari sebuah bilangan kompleks ${\displaystyle z}$ ditulis sebagai ${\displaystyle {\overline {z}}}$ atau ${\displaystyle z^{*}.}$ Notasi yang pertama umum digunakan di matematika untuk menghindari kebingungan dengan notasi untuk transpos konjugat dari sebuah matriks, yang dapat dianggap sebagai perumuman konsep konjugat kompleks. Notasi yang kedua umum ditemukan di fisika, sedangkan simbol dagger (†) digunakan untuk menyatakan transpos konjugat; juga di bidang teknik listrik dan teknik komputer, yang notasi bar dapat dibingungkan dengan dengan simbol aljabar Boolean untuk negasi ("NOT").

Sifat

Sifat-sifat berikut berlaku untuk sembarang bilangan kompleks ${\displaystyle z}$ dan ${\displaystyle w,}$ kecuali dinyatakan sebaliknya, dan dapat dibuktikan dengan menuliskan ${\displaystyle z}$ dan ${\displaystyle w}$ dalam bentuk ${\displaystyle a+bi.}$

• Untuk sembarang dua bilangan kompleks, konjugat bersifat distributif terhadap penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian:^[1]
  $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {z+w}}&={\overline {z}}+{\overline {w}},\\{\overline {z-w}}&={\overline {z}}-{\overline {w}},\\{\overline {zw}}&={\overline {z}}\;{\overline {w}},\quad {\text{dan}}\\{\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}&={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}},\quad {\text{jika }}w\neq 0.\end{aligned}}}$$
• Bilangan kompleks akan bernilai sama dengan konjugat kompleksnya jika bagian imajinernya bernilai nol, atau dengan kata lain, ketika bilangan tersebut real. Hal ini mengartikan bilangan real adalah satu-satunya titik tetap konjugat.
• Konjugat tidak akan mengubah modulus dari bilangan kompleks: ${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=|z|.}$
• Konjugat adalah suatu involusi, yakni, konjugat dari konjugat dari suatu bilangan kompleks ${\displaystyle z}$ adalah ${\displaystyle z.}$ Dalam bentuk simbol, ${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z.}$^[1]
• Hasil perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya akan bernilai sama dengan kuadrat modulus bilangan tersebut. Hal ini memungkinkan perhitungan mudah untuk invers perkalian bilangan kompleks dalam koordinat kartesius:
  $${\displaystyle {\begin{aligned}z{\overline {z}}&={\left|z\right|}^{2}\\z^{-1}&={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}},\quad {\text{ untuk semua }}z\neq 0\end{aligned}}}$$

• Konjugat bersifat komutatif ketika dikomposisikan dengan perpangkatan bilangan bulat, dengan fungsi eksponen, dan dengan fungsi logaritma alami (jika argumennya tidak bernilai nol):
  $${\displaystyle {\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n},\quad {\text{ for all }}n\in \mathbb {Z} }$$
  $${\displaystyle \exp \left({\overline {z}}\right)={\overline {\exp(z)}}}$$
  $${\displaystyle \ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}{\text{ if }}z{\text{ is non-zero }}}$$

• Jika ${\displaystyle p}$ adalah suatu polinomial dengan koefisien real dan ${\displaystyle p(z)=0,}$ maka ${\displaystyle p\left({\overline {z}}\right)=0}$. Jadi, akar-akar kompleks dari polinomial real akan muncul dalam bentuk pasangan konjugat kompleks.^[2]

Penggunaan sebagai variabel

Konjugat kompleks dapat digunakan untuk membangun representasi ${\displaystyle z=x+yi}$ atau ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ dari bilangan kompleks ${\displaystyle z}$:

• Bagian real: ${\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}}$
• Bagian imajiner: ${\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}}$
• Modulus (atau nilai mutlak): ${\displaystyle r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}$
• Argumen: ${\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}},}$ maka ${\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}}$

Lebih lanjut, ${\displaystyle {\overline {z}}}$ dapat digunakan untuk menyatakan garis pada bidang: himpunan ${\displaystyle \left\{z:z{\overline {r}}+{\overline {z}}r=0\right\}}$ adalah garis yang melalui titik asal dan tegak lurus dengan ${\displaystyle {r},}$ karena bagian real dari ${\displaystyle z\cdot {\overline {r}}}$ bernilai nol hanya jika kosinus sudut antara ${\displaystyle z}$ dan ${\displaystyle {r}}$ bernilai nol. Serupa dengan itu, untuk satuan (unit) kompleks ${\displaystyle u=e^{ib}}$ yang ditetapkan, persamaan

$${\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}}$$

merepresentasikan garis yang melalui ${\displaystyle z_{0}}$, dan paralel dengan garis yang melalui 0 dan ${\displaystyle u.}$

Referensi

1. Friedberg, Stephen; Insel, Arnold; Spence, Lawrence (2018), Linear Algebra (edisi ke-5), ISBN 978-0134860244 , Appendix D
2. Anthony G. O'Farell and Gary McGuire (2002). "Complex numbers, 8.4.2 Complex roots of real polynomials". Maynooth Mathematical Olympiad Manual. Logic Press. hlm. 104. ISBN 0954426908.  Preview available at Google books

Daftar pustaka

• Budinich, P. and Trautman, A. The Spinorial Chessboard. Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3. (antilinear maps are discussed in section 3.3).