Sejarah aljabar

Aljabar pada dasarnya dapat dianggap sebagai melakukan perhitungan yang mirip dengan aritmatika tetapi dengan objek matematika non-numerik. Namun, hingga abad ke-19, aljabar pada dasarnya terdiri dari teori persamaan. Sebagai contoh, teorema dasar aljabar milik teori persamaan dan saat ini tidak dianggap sebagai milik aljabar (pada kenyataannya, setiap bukti harus menggunakan kelengkapan bilangan asli, yang bukan properti aljabar).

Artikel ini menjelaskan sejarah teori persamaan, yang disebut di sini "aljabar", dari asal mula munculnya aljabar sebagai bidang matematika yang terpisah.

Etimologi

Kata "aljabar" berasal dari bahasa Arab الجبر al-jabr, dan ini berasal dari risalah yang ditulis pada tahun 830 oleh ahli matematika Persia abad pertengahan, Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, yang judul bahasa Arabnya, Kitab al-mu altaṣar fı īisāb al-ğabr wa-l-muqābala, dapat diterjemahkan ke bahasa Indonesia sebagai Buku Lengkap tentang Penghitungan dengan Menyelesaikan dan Menyeimbangkan. Risalah disediakan untuk solusi sistematis persamaan linear dan kuadrat. Menurut satu sejarah, "tidak pasti apa arti istilah al-jabr dan muqabalah, tetapi interpretasi yang biasa mirip dengan yang tersirat dalam terjemahan sebelumnya. Kata 'al-jabr' mungkin berarti sesuatu seperti restorasi atau penyelesaian dan tampaknya merujuk pada transposisi istilah yang dikurangi ke sisi lain dari sebuah persamaan; kata' muqabalah 'dikatakan merujuk pada reduksi atau penyeimbangan yaitu, pembatalan istilah serupa di sisi yang berlawanan dari persamaan. Pengaruh Arab di Spanyol lama setelah masa al-Khwarizmi ditemukan di Don Quixote, di mana kata 'algebrista' digunakan untuk tulang-setter, yaitu, pemulih."^[1] Istilah ini digunakan oleh al-Khwarizmi untuk menggambarkan operasi yang ia perkenalkan, "reduksi" dan "penyeimbangan", merujuk pada transposisi istilah yang dikurangi ke sisi lain dari sebuah persamaan, yaitu pembatalan istilah serupa di sisi yang berlawanan dari persamaan.^[2]

Tahapan aljabar

Ekspresi aljabar

Aljabar tidak selalu menggunakan simbolisme yang sekarang ada di mana-mana dalam matematika; sebaliknya, ia melewati tiga tahap yang berbeda. Tahapan dalam pengembangan aljabar simbolis kira-kira sebagai berikut:^[3]

• Aljabar retoris, di mana persamaan ditulis dalam kalimat penuh. Misalnya, bentuk retoris x + 1 = 2 adalah "Benda plus satu sama dengan dua" atau mungkin "Benda plus 1 sama dengan 2". Aljabar retoris pertama kali dikembangkan oleh orang Babilonia kuno dan tetap dominan hingga abad ke-16.
• Aljabar sinkop, di mana beberapa simbolisme digunakan, tetapi yang tidak mengandung semua karakteristik aljabar simbolik. Misalnya, mungkin ada batasan bahwa pengurangan hanya dapat digunakan satu kali dalam satu sisi persamaan, yang tidak demikian halnya dengan aljabar simbolis. Ekspresi aljabar sinkopasi pertama kali muncul di Aritmetika Diofantos (abad ke-3 M), diikuti oleh Brahmagupta Brahma Sphuta Siddhanta (abad ke-7).
• Aljabar simbolik, di mana simbolisme penuh digunakan. Langkah-langkah awal menuju hal ini dapat dilihat dalam karya beberapa ahli matematika Islam seperti Ibn al-Banna (abad 13-14) dan al-Qalasadi (abad ke-15), meskipun aljabar simbolis sepenuhnya dikembangkan oleh François Viète (abad ke-16). Kemudian, René Descartes (abad ke-17) memperkenalkan notasi modern (misalnya, penggunaan x) dan menunjukkan bahwa masalah yang terjadi dalam geometri dapat diekspresikan dan dipecahkan dalam hal aljabar (geometri analitis).

Yang sama pentingnya dengan penggunaan atau kurangnya simbolisme dalam aljabar adalah tingkat persamaan yang dibahas. Persamaan kuadrat memainkan peran penting dalam aljabar awal; dan sepanjang sebagian besar sejarah, hingga periode modern awal, semua persamaan kuadrat diklasifikasikan sebagai salah satu dari tiga kategori.

• ${\displaystyle x^{2}+px=q}$
• ${\displaystyle x^{2}=px+q}$
• ${\displaystyle x^{2}+q=px}$

di mana p dan q positif. Trikotomi ini muncul karena persamaan kuadratik dari bentuk ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$, dengan p dan q positif, tidak memiliki akar positif.

Di antara tahapan retorika dan sinkopasi aljabar simbolis, aljabar konstruktif geometrik dikembangkan oleh matematika Yunani dan matematika India klasik di mana persamaan aljabar diselesaikan melalui geometri. Misalnya, persamaan bentuk ${\displaystyle x^{2}=A}$ diselesaikan dengan menemukan sisi kuadrat area A.

Tahap konseptual

Selain tiga tahap mengekspresikan ide-ide aljabar, beberapa penulis mengakui empat tahap konseptual dalam pengembangan aljabar yang terjadi di samping perubahan ekspresi. Keempat tahap ini adalah sebagai berikut:^{[4][butuh sumber nonprimer]}

• Tahap geometris, di mana konsep aljabar sebagian besar geometris. Tanggal kembali ke Babilonia dan dilanjutkan dengan orang-orang Yunani, dan kemudian dihidupkan kembali oleh Omar Khayyam .
• Tahap penyelesaian persamaan statis, di mana tujuannya adalah untuk menemukan angka yang memuaskan hubungan tertentu. Perpindahan dari aljabar geometris tanggal kembali ke Diofantos dan Brahmagupta, tetapi aljabar tidak tegas pindah ke tahap penyelesaian persamaan statis sampai Al-Khwarizmi memperkenalkan proses algoritma umum untuk menyelesaikan masalah aljabar.
• Tahap fungsi dinamis, di mana gerakan adalah ide yang mendasarinya. Gagasan fungsi mulai muncul dengan Sharaf al-Dīn al-Tūsī, tetapi aljabar tidak secara pasti pindah ke tahap fungsi dinamis sampai Gottfried Leibniz.
• Tahap abstrak, di mana struktur matematika memainkan peran sentral. Aljabar abstrak sebagian besar merupakan produk dari abad ke-19 dan ke-20.

Referensi

1. Boyer (1991)
2. Jeffrey A. Oaks, Haitham M. Alkhateeb, Simplifying equations in Arabic algebra, Historia Mathematica, 34 (2007), 45-61, ISSN 0315-0860, [1]
3. (Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p.180) "It has been said that three stages of in the historical development of algebra can be recognized: (1) the rhetorical or early stage, in which everything is written out fully in words; (2) a syncopated or intermediate state, in which some abbreviations are adopted; and (3) a symbolic or final stage. Such an arbitrary division of the development of algebra into three stages is, of course, a facile oversimplification; but it can serve effectively as a first approximation to what has happened""
4. Katz, Victor J.; Barton, Bill (October 2007), "Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching", Educational Studies in Mathematics, 66 (2): 185–201, doi:10.1007/s10649-006-9023-7