Propositiones ad Acuendos Juvenes

Manuskrip bahasa Latin abad pertengahan Propositiones ad Acuendos Juvenes (bahasa Inggris: Masalah-masalah untuk Mempertajam Kaum Muda) adalah salah satu kumpulan masalah matematika rekreasional terawal yang diketahui.^[1] Salinan tertua yang diketahui dari manuskrip tersebut berasal dari akhir abad ke-9. Teks tersebut diatributkan kepada Alkuin (wafat 804). Beberapa edisi dari teks tersebut berisi 53 masalah, yang lainnya 56. Karya tersebut diterjemahkan dalam bahasa Inggris oleh John Hadley, dengan anotasi oleh John Hadley dan David Singmaster.^[2]

Manuskrip tersebut beridi kisah-kisah pertama yang diketahui dari beberapa jenis masalah, termasuk tiga masalah menyeberangi sungai:

• Masalah 17: masalah suami-suami pencemburu. Dalam versi Alkuin dari masalah tersebut, tiga pria, masing-masing dengan seorang saudari, harus melintasi sungai memakai sebuah perahu yang hanya dapat menampung dua orang, dan permasalahannya adalah seorang wanita tak boleh bersama pria lainnya jika tidak didampingi saudaranya,^{[2], p. 111.}
• Masalah 18: Masalah rubah, kambing dan kubis^{[2], p. 112.}, dan
• Masalah 19: Propositio de viro et muliere ponderantibus plaustrum. Dalam masalah ini, seorang pria dan seorang wanita memiliki berat yang sama, bersama dengan dua anak, masing-masing memiliki berat setengah dari mereka, ingin menyeberangi sungai memakai perahu yang hanya dapat menampung berat dua orang dewasa;^{[2], p. 112.}

Sebuah masalah yang disebut "pembagian barel":

• Masalah 12: Seorang ayah meninggal dan mewarisi 30 botol kaca kepada 3 putranya, 10 diantaranya dipenuhi minyak, 10 lainnya setengah penuh, sementara 10 lainnya kosong. Minyak dan botol tersebut harus dibagi setara kepada tiga putra tersebut, baik kadar minyaknya maupun jumlah botolnya;^{[2], p. 109.} Jumlah solusi dari masalah tersebut kemudian disebut urutan Alkuin.

dan sebuah ragam dari masalah jip:

• Masalah 52: Seorang kepala rumah tangga memerintahkan agar 90 modia gandum dibawa dari salah satu gubuknya ke gubuk lainnya yang berjarak 30 blok. Sekumpulan gandum tersebut dibawa oleh seekor unta dalam tiga pemberhentian dan unta tersebut menyantap satu modius per blok, bagaimana agar jumlah modia dapat tersisa pada akhir perjalanan?^{[2], pp. 124–125.}

Beberapa masalah lainnya adalah:

• Masalah 5: Seorang pedagang ingin membeli 100 babi untuk 100 peni. Untuk seekor babi jantan, ia harus membayar 10 peni; untuk seekor babi betina, 5 peni; sementara ia harus membayar 1 peni untuk sepasang anak babi. Bagaimana cara agar babi jantan, babi betina dan anak babi bisa berjumlah 100 ekor dengan harga 100 peni?

Masalah tersebut telah disebutkan di Tiongkok sejak abad ke-5, dan muncul dalam teks-teks India dan Arab pada masa itu.^{[2], p. 106.}

• Masalah 26: Terdapat sebuah ladang sepanjang 150 kaki. Di satu sudut, terdapat seekor anjing; di sisi lain, seekor kelinci. Anjing dapat bergerak 9 kaki per langkah, kelinci hanya 7. Berapa banyak langkah dan berapa banyak lonctan yang dilakukan anjing untuk dapat mengejar kelinci sampai kelinci tersebut tertangkap?

Masalah dari jenis tersebut telah ada pada tahun 159 SM, namun ini merupakan contoh Eropa pertama yang diketahui.^{[2], p. 115.}

• Masalah 42: Terdapat sebuah tangga yang memiliki 100 anak tangga. Seekor burung dara duduk di anak tangga pertama, dua dara di anak tangga kedua, tiga pada anak tangga ketiga, empat pada anak tangga keempat, lima pada anak tangga kelima, dan demikian pula seterusnya sampai anak tangga keseratus. Berapa banyak burung darang yang ada disana secara keseluruhan?

Soal cerita tersebut sama dengan masalah aritmatika yang menambahkan seluruh jumlah dari 1 sampai 100. Solusi Alkuin menyatakan bahwa terdapat 100 burung darah dari total anak tangga pertama sampai ke-99 jika dipadukan, 100 lainnya pada anak tangga kedua dan ke-89 saat dipadukan, dan demikian pula seterusnya untuk seluruh penjodohan anak tangga, kecuali ke-50 dan ke-100. Carl Friedrich Gauss sebagai seorang murid dianggap memecahkan masalah kesetaraan aritmatika tersebut dengan memasangkan 1 dan 100, 2 dan 99, ..., 50 dan 51, sehingga menempatkan 50 kali 101 = 5050, sebuah solusi yang lebih elegan ketimbang solusi Alkuin pada 1000 tahun sebelumnya.^{[2], p. 121.}

• Masalah 43: Seorang pria memiliki 300 babi. Ia memerintahkan agar semua babi tersebut dijagal dalam 3 hari, namun dengan jumlah yang tidak sama pada setiap hari. Berapa jumlah yang dijagal setiap hari?

Masalah tersebut tampaknya merupakan bentuk pengecohan terhadap para murid, dan tak ada solusi yang diberikan. (Tiga angka ganjil tidak dapat ditambahkan ke 300.)^{[2], p. 121.}

Referensi

1. Alcuin (735-804), David Darling, The Internet Encyclopedia of Science. Accessed on line February 7, 2008.
2. Problems to Sharpen the Young, John Hadley and David Singmaster, The Mathematical Gazette, 76, #475 (March 1992), pp. 102–126.

Pranala luar dan bacaan tambahan

• (Latin) Propositiones ad acuendos iuuenes, Latin text.
• Problems to Sharpen the Young, John Hadley and David Singmaster, The Mathematical Gazette, 76, #475 (March 1992), pp. 102–126. Annotated translation of the text into English.
• (Inggris)/(Latin) HOST: An Electronic Bulletin for the History and Philosophy of Science and Technology, 1, #2 (Spring/Summer; June 1993), ISSN 1192-084X. Contains a translation by Peter J. Burkholder of the text into English, together with introduction, commentary, and the original text.
• Rutger Kramer, "'Ecce fabula!' Problem-Solving by Numbers in the Carolingian World: The Case of the Propositiones ad Acuendos Iuvenes", http://epub.oeaw.ac.at/0xc1aa5576_0x0036d428.pdf