Persegi

Persegi
Sebuah segiempat biasa
Sisi dan titik pojok	{{{p4-sisi}}}
Simbol Schläfli	{4}
Diagram Coxeter–Dynkin
Grup simetri	Dihedral (D4), order 2×{{{p4-sisi}}}
Sudut dalam (derajat)	{{{p4-sudut}}}°
Sifat	Convex, cyclic, equilateral, isogonal, isotoxal

Dalam geometri Euklides, persegi adalah bangun poligon segi-empat reguler, artinya bangun tersebut memiliki empat sisi yang sama panjang dan empat sudut yang sama besar (dengan sudut 90 derajat, π/2 radian, atau sudut siku-siku). Bangun ini juga dapat didefinisikan sebagai bangun persegi panjang dengan semua sisi memiliki panjang yang sama. Persegi adalah satu-satunya poligon reguler dengan sudut dalam, sudut pusat, dan sudut luar yang sama besar (90°), dan dengan semua diagonalnya memiliki panjang yang sama. Persegi dengan titik sudut ${\displaystyle ABCD}$ disimbolkan sebagai ${\displaystyle \square \,ABCD.}$^[1]

Sebuah persegi dapat didefinisikan atau dikarakterisasikan berdasarkan sudut pandang yang berbeda. Apabila suatu poligon di bidang Euklides memenuhi salah satu dari kriteria demikian, maka poligon tersebut memenuhi semuanya:

• Suatu persegi adalah suatu poligon yang mempunyai empat sisi yang sama panjangnya dan mempunyai empat sudut siku-siku. Dalam artian, persegi adalah segiempat yang sama-sama merupakan persegi panjang dan belah ketupat.^[2]
• Suatu persegi adalah suatu persegi panjang yang memiliki empat sisi yang sama panjang.^[2]
• Suatu persegi adalah suatu belah ketupat dengan sudut siku-siku yang diapit oleh dua sisi yang berdekatan.^[2]
• Suatu persegi adalah suatu belah ketupat dengan semua sudutnya sama besar.^[2]
• Suatu persegi adalah suatu segiempat dengan semua garis diagonalnya sama panjang, saling berpotongan tegak lurus dan saling membagi dua. Artinya, persegi adalah suatu belah ketupat dengan garis diagonalnya sama panjang.^[3]
• Suatu persegi adalah suatu segiempat sisi-sisi berurutan ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$, yang luasnya ^[4]$${\displaystyle L={\frac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}).}$$

Persegi adalah satu-satunya poligon beraturan dengan sudut dalam, sudut pusat, serta sudut luar yang dimiliki sama besarnya, yakni sudut siku-siku.^[5]

Persegi adalah kasus istimewa dari belah ketupat (semua sisi sama panjang, semua sudut berhadapan sama besar), layang-layang (dua panjang sisi bersebelahan sama besar), trapesium (sepasang sisi berhadapan sejajar), jajar genjang (semua sisi berhadapan sejajar), dan persegi panjang (semua sisi berhadapan sama besar, semua sudut siku-siku).^[5] Akibatnya, persegi memiliki semua sifat dari bangun-bangun tersebut, meliputi:

• Semua sudut dalam dari persegi sama besar (masing-masing sebesar 90°, sudut siku-siku).^[5][6]
• Sudut pusat dari persegi sama dengan 90°.^[5]
• Sudut luar dari persegi sama dengan 90°.^[5]
• Kedua diagonal dari persegi sama besar dan saling memotong pada sudut 90°.^[6]
• Diagonal dari persegi membagi dua sudut dalamnya, masing-masing membentuk sudut 45°.^[7]
• Semua sisi dari persegi sama besar^[8]
• Semua sisi yang saling berhadapan sejajar^[9]

Suatu persegi yang memiliki empat sisi memiliki panjang ${\displaystyle \ell }$. Rumus kelilingnya adalah ${\displaystyle K=4\ell }$.^[10] Rumus panjang garis diagonal persegi adalah ${\displaystyle d={\sqrt {2}}\ell }$.^[11] Akar kuadrat dari 2, terlihat pada rumus panjang garis diagonal, yang merupakan bilangan irasional, bilangan yang tak dapat dituliskan dalam bentuk pecahan. Akar kuadrat dari 2 kira-kira sama dengan 1,414,^[12] dan pendekatan nilai tersebut sudah diketahui oleh matematikawan Babilonia.^[13] Luas persegi adalah^[11] $${\displaystyle A=\ell ^{2}={\tfrac {1}{2}}d^{2}.}$$Rumus luas persegi adalah panjang sisi yang dikuadratkan (atau dipersegikan), yang artinya diberi pangkat dua.^[14] Dengan membalikkan hubungan tersebut, bila diketahui luas persegi, maka panjang sisi persegi adalah akar kuadrat dari luas persegi. Menguadratkan suatu bilangan bulat, atau mengambil luas persegi dengan panjang sisi yang bernilai bilangan bulat, menghasilkan bilangan kuadrat atau bilangan persegi. Bilangan persegi termasuk bilangan figuratif yang merepresentasikan jumlah suatu benda yang disusun membentuk susunan persegi.^[15]

Persegi adalah equable shape [en]. Artinya, luas persegi sama dengan keliling persegi. Karena empat kuadrat sama dengan enam belas, persegi dengan ukuran empat kali empat memiliki luas yang sama dengan keliling. Selain persegi, suatu persegi panjang berukuran tiga kali enam termasuk equable shape.^[16]

Karena persegi merupakan poligon reguler, bangun ini memiliki keliling terkecil yang mengitari suatu luas tertentu. Dual dari pernyataan tersebut, persegi merupakan bangun segi-empat yang memiliki luas terbesar, dari semua segi-empat dengan suatu besar keliling tertentu.^[17] Secara lebih matematis, jika ${\displaystyle L}$ dan ${\displaystyle K}$ masing-masing adalah luas dan keliling dari suatu segiempat, maka berlaku pertidaksamaan isoperimetrik berikut: $${\displaystyle 16L\leq K^{2}}$$dengan persamaan terjadi jika dan hanya jika segiempat tersebut adalah persegi.^[18][19]

Lingkaran dalam dari suatu persegi adalah lingkaran terbesar yang dapat memuat suatu persegi di dalamnya. Pusat lingkaran dalam adalah pusat persegi, dan jari-jari lingkaran dalam dari suatu persegi adalah ${\displaystyle r=\ell /2}$. Karena lingkaran tersebut menyinggung semua empat sisi persegi (di bagian tengah sisi), persegi adalah segiempat tangensial. Lingkaran luar dari suatu persegi melalui semua empat titik persegi, sehingga persegi adalah segiempat siklik. Jari-jari lingkaran luar dari suatu persegi adalah ${\displaystyle R=\ell /{\sqrt {2}}}$.^[20] Apabila lingkaran dalam dari suatu persegi ${\displaystyle ABCD}$ memiliki titik kesinggungan ${\displaystyle E}$ pada ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle F}$ pada ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle G}$ pada ${\displaystyle CD}$, dan ${\displaystyle H}$ pada ${\displaystyle DA}$, maka untuk suatu titik ${\displaystyle P}$ pada lingkaran dalam, berlaku persamaan^[21]$${\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.}$$Apabila ${\displaystyle d_{i}}$ adalah jarak dari suatu titik sembarang pada bidang ke titik ke-${\displaystyle i}$ suatu persegi dan ${\displaystyle R}$ adalah jari-jari lingkaran luar persegi, maka berlaku persamaan^[22]$${\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.}$$ Apabila ${\displaystyle Q}$ dan ${\displaystyle d_{i}}$ masing-masing jarak dari suatu titik sembarang pada bidang ke titik sentroid persegi dan keempat titik persegi, maka$${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})}$$ dan $${\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+Q^{4}),}$$ dengan ${\displaystyle R}$ adalah jari-jari lingkaran luar dari suatu persegi.^[23]

• Panjang diagonal dari persegi adalah ${\textstyle {\sqrt {2}}}$ (sekitar 1,414) kali panjang sisi persegi tersebut. Nilai ini, dikenal sebagai akar kuadrat dari 2 dan konstanta Pythagoras,^[1] adalah bilangan pertama yang dibuktikan berupa bilangan irasional.
• Persegi juga dapat didefinisikan sebagai jajar genjang dengan kedua diagonalnya memiliki panjang yang sama dan membagi dua sudut dalam jajar genjang tersebut.
• Jika suatu bangun berupa persegi panjang (memiliki sudut siku-siku) sekaligu belah ketupat (memiliki panjang sisi yang sama), maka bangun tersebut adalah persegi.
• Pengubinan persegi adalah salah satu dari tiga teselasi reguler pada bidang (bangun teselasi lainnya adalah segitiga sama sisi dan heksagon reguler).
• Persegi adalah anggota dari dua keluarga politop di dimensi dua: hiperkubus dan cross-polytope. Simbol Schläfli untuk persegi adalah ${\textstyle \{4\}}$ .
• Persegi adalah objek yang sangat simetris. Persegi memiliki empat garis simetri refleksi, dan simetri rotasi tingkat 4 (0°, 90°, 180° and 270°). Grup simetri dari bangun ini adalah grup dihedral D₄.
• Sebangun persegi dapat dibuat di dalam (inscribed) sebarang poligon regular. Satu-satunya poligon lain dengan sifat ini adalah segitiga sama sisi.
• Jika lingkaran dalam dari persegi ABCD memiliki titik potong E pada sisi AB, F pada BC, G pada CD, dan H pada DA, maka untuk sebarang titik P pada lingkaran dalam tersebut,^[24] ${\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.}$
• Jika ${\displaystyle d_{i}}$ adalah jarak dari berang titik di bidang ke sisi ke-i dari sebangun persegi, dan ${\displaystyle R}$ adalah lingkaran luar dari persegi tersebut, maka^[25] $${\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.}$$
• Jika ${\displaystyle L}$ dan ${\displaystyle d_{i}}$ masing-masing menyatakan jarak dari sebarang titik pada bidang ke titik pusat dari persegi dan ke titik pusat dari sisi-sisinya, maka berlaku hubungan ^[26] ${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})}$ dan ${\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),}$ dengan ${\displaystyle R}$ adalah lingkaran luar dari persegi tersebut.

Ubin persegi

Girl with a Pearl Earring terpiksel

Persegi adalah bangun datar yang sangat dikenali dalam ubin (tiles), sehingga asal katanya dalam bahasa Latin tessera, untuk ubin kecil yang digunakan di berbagai mosaik, berasal dari kata bahasa Yunani kuno untuk angkat empat, yang merujuk kepada empat ujung ubin persegi.^[27] Kertas grafik yang dipracetak dengan ubin persegi acapkali digunakan untuk keperluan visualisasi data dengan menggunakan sistem koordinat Kartesius.^[28] Piksel gambar bitmap, yang direkam oleh pemindai gambar dan kamera digital atau yang ditampilkan pada penampilan visual elektronik biasanya terletak di perpotongan grid persegi, dan seringkali sebagai persegi-persegi kecil yang disusun di sebuah ubin persegi.^[29][30] Teknik standar pemampatan citra dan pemampatan video, yakni format JPEG, memiliki bentuk dasar berupa subpembagian gambar-gambar menjadi blok piksel persegi yang lebih besar.^[31] Struktur data quadtree [en] yang digunakan dalam pemampatan data dan geometri komputasi didasarkan pada subdivisi persegi secara rekursif menjadi persegi-persegi yang lebih kecil.^[32]

Struktur arsitektural yang berawal dari budaya kuno hingga budaya modern menampilkan denah persegi. Berbagai contoh bangunan kuno mencakup piramida Mesir,^[33] piramida Mesoamerika seperti piramida yang terletak di Teotihuacan,^[34] ziggurat Chogha Zanbil di Iran,^[35] taman berdesain empat bagian, konon menggambarkan empat sungai taman surga, dan struktur tersebut arkian terinsiprasi oleh desainnya seperti Taj Mahal di India,^[36] stupa Buddha yang memiliki alas berbentuk persegi,^[37] dan pagoda di Asia Timur, bangunan yang secara simbolis menghadap empat titik kompas dan mencapai ke surga.^[38] Menara benteng penduduk Norman seperti Menara London seringkali mengambil bentuk menara persegi rendah.^[39] Dalam arsitektur modern, hampir semua gedung pencakar langit menampilkan denah persegi sebagai alasan pragmatik daripada alasan keindahan ataupun simbolis.^[40]

Mandala Tibet

Study for Arithmetic Composition, karya Theo van Doesburg

Kumpulan persegi bersarang yang terdapat pada sebuah mandala Tibet memiliiki fungsi yang serupa dengan desain stupa, yakni sebagai model minatur kosmos.^[41] Beberapa format fotografi film menggunakan rasio aspek persegi, dan kamera terkenal yang menggunakannya adalah kamera Polaroid, kamera format medium, dan kamera Instamatik.^[42][43] Beberapa pelukis yang kerapkali dikenal menampilkan bentuk persegi adalah Josef Albers,^[44] Kazimir Malevich,^[45] Piet Mondrian,^[46] danTheo van Doesburg.^[47]

Lapangan bisbol^[48] dan ring tinju memiliki bentuk persegi.^[49] Dalam tarian Quadrille dan square dance [en], empat pasangan yang membentuk sisi persegi.^[50] Dalam genre program televisi play Samuel Beckett, Quad, empat aktor berjalan di sepanjang sisi dan garis diagonal persegi.^[51]

Konstruksi persegi dengan diketahui panjang sisinya dengan menggunakan jangka dan mistar dapat ditemukan pada Elemen Euklides I.46.^[52] Kehadiran konstruksi tersebut mengartikan bahwa persegi adalah poligon terkonstruksi (constructible polygon). Suatu poligon dengan sisi ke-${\displaystyle n}$ dapat dikatakan terkonstruksikan tepat ketika faktor bilangan prima ganjil dari ${\displaystyle n}$ adalah bilangan prima Fermat yang berbeda.^[53] Untuk kasus persegi, ${\displaystyle n=4}$ tidak memiliki faktor bilangan prima, sehingga syarat demikian adalah kebenaran hampa.^[54]

Elements IV.6–7 juga memberikan konstruksi sebuah persegi di dalam lingkaran dan di luar sekitar lingkaran.^[55]

Konstruksi persegi menggunakan jangka dan mistar.

Persegi dari panjang sisi yang sudah ditentukan,
sudut siku-siku dihasilkan dari teorema Thales.

Persegi dari panjang diagonal yang sudah ditentukan

Dalam geometri non-Euklides, persegi didefinisikan secara lebih umum sebagai poligon dengan 4 sisi dengan panjang yang sama dan besar semua sudutnya sama.

Di geometri bola, persegi sferis adalah poligon yang sisi-sisinya merupakan busur lingkaran besar dengan panjang yang sama, dan berpotongan pada besar sudut yang sama. Tidak seperti persegi pada geometri bidang (geometri Euklides), sudut persegi di geometri ini lebih besar daripada sudut siku-siku. Persegi sferis dengan ukuran yang lebih besar akan memiliki sudut yang lebih besar.

Di geometri hiperbolik, tidak ada persegi dengan sudut siku-siku. Alih-alih, persegi dalam geometri hiperbolik memiliki sudut kurang dari sudut siku-siku. Persegi hiperbolik dengan ukuran yang lebih besar memiliki sudut yang lebih kecil.

Dua persegi dengan sudut dalam 180° dapat mengubin (tile) pemukaan bola. Sisi-sisi dari kedua persegi tersebut terletak di lingkaran besar. Persegi tersebut disebut dengan persegi sfreris (bola) dihedron, dengan simbol Schläfli {4,2}.

Enam persegi dapat mengubi permukaan bola, dengan setiap titik sudut dikeliling oleh tiga persegi dan setiap persegi memiliki besar sudut dalam 120°. Objek ini disebut dengan kubus sferis, dengan simbol Schläfli {4,3}.

Persegi dapat mengubin bidang hiperbolik, dengan setiap sudut dikelilingi lima persegi, masing-masing dengan sudut dalam 72°. Malahan, untuk sebarang ${\displaystyle n\geq 5}$ ada suatu pengubinan hiperbolik yang setiap titik sudut persegi tersebut dikelilingi oleh ${\displaystyle n}$ persegi.

Graf lengkap K₄ sering digambarkan sebagai persegi lengkap dengan kedua diagonalnya. Graf ini juga merupakan proyeksi ortografik dari simpleks-3 sederhana (tetrahedron), yang memiliki 6 sisi dan 4 titik sudut.

• Persegi Latin

• Persegi bulat
• Squaring the square