Modul Clifford

Dalam matematika, modul Clifford merupakan representasi dari aljabar Clifford. Umumnya, aljabar Clifford ${\displaystyle C}$ adalah aljabar sederhana pusat atas suatu perluasan medan ${\displaystyle L}$ dari medan ${\displaystyle K}$ di mana bentuk kuadrat ${\displaystyle Q}$ yang mendefinisikan ${\displaystyle C}$ didefinisikan.

Teori abstrak dari modul Clifford ditemukan oleh sebuah makalah dari M. F. Atiyah, R. Bott, dan Arnold S. Shapiro. Hasil fundamental pada modul Clifford adalah kelas ekuivalen Morita dari aljabar Clifford (kelas ekuivalen dari kategori modul Clifford lebih dari itu) bergantung hanya pada signature p − q (mod 8). Ini adalah bentuk aljabar dari periodisitas Bott.

Representasi matriks dari aljabar Clifford real

Kita perlu mempelajari matriks antikomutatif ${\displaystyle (AB=-BA)}$ karena dalam aljabar Clifford vektor ortogonal antikomutatif

${\displaystyle A\cdot B={\frac {1}{2}}(AB+BA)=0.}$

Untuk aljabar Clifford real ${\displaystyle \mathbb {R} _{p,q}}$, kita membutuhkan matriks ${\displaystyle p+q}$ yang saling antikomutatif, yang mana ${\displaystyle p}$ memiliki ${\displaystyle +1}$ sebagai persegi dan ${\displaystyle q}$ memiliki ${\displaystyle -1}$ sebagai persegi.

${\displaystyle {\begin{matrix}\gamma _{a}^{2}&=&+1&{\mbox{if}}&1\leq a\leq p\\\gamma _{a}^{2}&=&-1&{\mbox{if}}&p+1\leq a\leq p+q\\\gamma _{a}\gamma _{b}&=&-\gamma _{b}\gamma _{a}&{\mbox{if}}&a\neq b.\ \\\end{matrix}}}$

Basis seperti itu dari matriks gamma tidak unik. Salah satunya selalu dapat memperoleh himpunan lain dari matriks gamma memenuhi aljabar Clifford yang sama melalui transformasi kesamaan .

${\displaystyle \gamma _{a'}=S\gamma _{a}S^{-1},}$

dimana ${\displaystyle S}$ adalah matriks nonsingular. Himpunan ${\displaystyle \gamma _{a'}}$ dan ${\displaystyle \gamma _{a}}$ memiliki kelas ekuivalen yang sama.

Aljabar Clifford riil ${\displaystyle \mathbf {R} _{3,1}}$

Dikembangkan oleh Ettore Majorana, modul Cilfford ini memungkinkan konstruksi dari persamaan Dirac tanpa biangan kompleks, dan anggotanya disebut spinor Majorana.

Empat vektor basis adalah tiga matriks Pauli dan keempat matriks antihermitian. Signaturenya adalah (+++−). Untuk signature (+−−−) dan (−−−+) seringkali digunakan dalam fisika, matriks kompleks 4×4 atau matriks real 8×8 dibutuhkan.

Lihat pula

• Matriks Weyl-Brauer
• Matriks gamma dimensi yang lebih tinggi
• Bundel modul Clifford

Referensi

• Atiyah, Michael; Bott, Raoul; Shapiro, Arnold (1964), "Clifford Modules" (PDF), Topology, 3 (Suppl. 1): 3–38, doi:10.1016/0040-9383(64)90003-5, diarsipkan dari asli (PDF) tanggal 2011-07-17, diakses tanggal 2011-07-28
• Deligne, Pierre (1999), "Notes on spinors", dalam Deligne, P.; Etingof, P.; Freed, D.S.; Jeffrey, L.C. (ed.), Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians, Providence: American Mathematical Society, hlm. 99–135, ISBN 978-0-8218-2012-4. See also the programme website for a preliminary version.
• Harvey, F. Reese (1990), Spinors and Calibrations, Academic Press, ISBN 978-0-12-329650-4.
• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometry, Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0.