Lokus (matematika)

Epitrosoida adalah contoh lokus dari suatu titik pada lingkaran kecil (hijau) yang berputar mengelilingi lingkaran besar (merah)

Dalam matematika, sebuah lokus (dari kata Latin locus yang berarti "tempat", loci jika jamak) adalah sekumpulan titik-titik dengan sifat-sifat yang sama. Istilah 'lokus' biasanya digunakan untuk mendefinisikan sebuah figur kontinu, atau kurva. Sebagai contoh, garis adalah lokus titik-titik yang menghubungkan dua titik tetap atau dua garis paralel dengan jarak terpendek.

Sejarah dan Filsafat

Sampai awal abad ke-20, bentuk geometris (misalnya kurva) tidak dianggap sebagai kumpulan titik yang tak terbatas; sebaliknya, itu dianggap sebagai entitas di mana sebuah titik mungkin berada atau di mana ia bergerak. Jadi lingkaran di bidang Euklides didefinisikan sebagai lokus dari titik yang berada pada jarak tertentu dari titik tetap, pusat lingkaran. Dalam matematika modern, konsep serupa lebih sering dirumuskan ulang dengan menggambarkan bentuk sebagai himpunan; misalnya, seseorang mengatakan bahwa lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berada pada jarak tertentu.^[1]

Berbeda dengan pandangan teori-himpunan, rumusan lama menghindari mempertimbangkan koleksi tak hingga, karena menghindari tak terhingga aktual merupakan posisi filosofis penting awal.^[2][3]

Setelah teori himpunan menjadi dasar universal di mana seluruh matematika dibangun,^[4] istilah lokus menjadi agak kuno.^[5] Meskipun demikian, kata tersebut masih banyak digunakan, terutama untuk rumusan yang ringkas, misalnya:

• Lokus kritis , himpunan titik kritikal dari fungsi terdiferensiasi.
• Lokus nol atau lokus menghilang , himpunan titik di mana fungsi menghilang, di mana ia mengambil nilai nol.
• Lokus tunggal , himpunan titik singular dari variasi aljabar.
• Lokus keterhubungan , himpunan bagian dari himpunan parameter dari sebuah keluarga fungsi rasional yang himpunan Julia dari fungsinya dihubungkan.

Baru-baru ini, teknik seperti teori skema, dan penggunaan teori kategori daripada teori himpunan untuk memberikan dasar pada matematika, telah kembali ke pengertian lebih seperti definisi asli dari lokus sebagai objek itu sendiri daripada sebagai satu set titik.^[3]

Contoh

(jarak PA) = 3. (jarak PB)

Contoh pertama

Temukan lokus titik P yang memiliki rasio jarak tertentu k = d₁/d₂ ke dua titik yang diberikan.

Dalam contoh ini k = 3, A(−1, 0) and B(0, 2) dipilih sebagai titik tetap.

P(x, y) adalah titik lokus

${\displaystyle \Leftrightarrow |PA|=3|PB|}$

${\displaystyle \Leftrightarrow |PA|^{2}=9|PB|^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+1)^{2}+(y-0)^{2}=9(x-0)^{2}+9(y-2)^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 8(x^{2}+y^{2})-2x-36y+35=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \left(x-{\frac {1}{8}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {9}{4}}\right)^{2}={\frac {45}{64}}.}$

Persamaan ini merepresentasikan lingkaran dengan pusat (1/8, 9/4) dan jari-jari ${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}{\sqrt {5}}}$. Ini adalah lingkaran Apollonius yang ditentukan oleh nilai-nilai ini k, A, dan B.

Contoh kedua

Locus of point C

A triangle ABC has a fixed side [AB] with length c. Determine the locus of the third vertex C such that the medians from A and C are orthogonal.

Choose an orthonormal coordinate system such that A(−c/2, 0), B(c/2, 0). C(x, y) is the variable third vertex. The center of [BC] is M((2x + c)/4, y/2). The median from C has a slope y/x. The median AM has slope 2y/(2x + 3c).

The locus is a circle

C(x, y) is a point of the locus

${\displaystyle \Leftrightarrow }$ the medians from A and C are orthogonal

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {y}{x}}\cdot {\frac {2y}{2x+3c}}=-1}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 2y^{2}+2x^{2}+3cx=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+(3c/2)x=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+3c/4)^{2}+y^{2}=9c^{2}/16.}$

The locus of the vertex C is a circle with center (−3c/4, 0) and radius 3c/4.

Lihat pula

• Variasi aljabar
• Melengkung
• Garis (geometri)
• Wilayah (matematika)
• Bentuk (geometri)

Referensi

1. Cooke, Roger L. (2012), "38.3 Topology", The History of Mathematics: A Brief Course (edisi ke-3rd), John Wiley & Sons, ISBN 9781118460290, Kata lokus adalah salah satu yang masih kita gunakan sampai sekarang untuk menunjukkan jalan yang diikuti oleh subjek yang bergerak ke batasan yang dinyatakan, meskipun, sejak diperkenalkannya teori himpunan, lokus lebih sering dianggap secara statis sebagai himpunan titik yang memenuhi koleksi tertentu. 
2. Bourbaki, N. (2013), Elements of the History of Mathematics, diterjemahkan oleh J. Meldrum, Springer, hlm. 26, ISBN 9783642616938, the ahli matematika klasik dengan hati-hati menghindari memasukkan alasan mereka 'ketidakterbatasan yang sebenarnya' .
3. Borovik, Alexandre (2010), "6.2.4 Can one live without actual infinity?", Mathematics Under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice, American Mathematical Society, hlm. 124, ISBN 9780821847619 .
4. Mayberry, John P. (2000), The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 82, Cambridge University Press, hlm. 7, ISBN 9780521770347, teori himpunan memberikan dasar untuk semua matematika .
5. Ledermann, Walter; Vajda, S. (1985), Combinatorics and Geometry, Part 1, Handbook of Applicable Mathematics, 5, Wiley, hlm. 32, ISBN 9780471900238, Kami mulai dengan menjelaskan istilah yang agak kuno .