Ekspansi Laplace

Dalam aljabar linear, ekspansi Laplace, dinamai Pierre-Simon Laplace, juga disebut ekspansi kofaktor, adalah ekspresi dari determinan n × n matriks B sebagai jumlah tertimbang dari minor, yang merupakan determinan dari beberapa B submatriks B. Secara khusus, untuk setiap i, $${\displaystyle {\begin{aligned}\det(B)&=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}B_{i,j}M_{i,j},\end{aligned}}}$$ dimana ${\displaystyle B_{i,j}}$ adalah entri baris ke-i dan kolom ke-j dari B, dan ${\displaystyle M_{i,j}}$ adalah determinan submatriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari B.

Syarat ${\displaystyle (-1)^{i+j}M_{i,j}}$ disebut kofaktor dari ${\displaystyle B_{i,j}}$ di B.

Contoh

Perhatikan matriks

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}.}$

Determinan matriks ini dapat dihitung dengan menggunakan ekspansi Laplace sepanjang salah satu baris atau kolomnya. Misalnya, ekspansi di sepanjang baris pertama menghasilkan:

${\displaystyle {\begin{aligned}|B|&=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}\\[5pt]&=1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0.\end{aligned}}}$

Ekspansi Laplace sepanjang kolom kedua menghasilkan hasil yang sama:

${\displaystyle {\begin{aligned}|B|&=-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}-8\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}\\[5pt]&=-2\cdot (-6)+5\cdot (-12)-8\cdot (-6)=0.\end{aligned}}}$

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa hasilnya benar: matriksnya tunggal karena jumlah kolom pertama dan ketiganya adalah dua kali kolom kedua, dan karenanya determinannya adalah nol.

Referensi

• David Poole: Linear Algebra. A Modern Introduction. Cengage Learning 2005, ISBN 0-534-99845-3, pp. 265–267 (restricted online copy, hlm. 265, pada Google Books)
• Harvey E. Rose: Linear Algebra. A Pure Mathematical Approach. Springer 2002, ISBN 3-7643-6905-1, pp. 57–60 (restricted online copy, hlm. 57, pada Google Books)

Pranala luar

• Laplace expansion in C (Portugis)
• Laplace expansion in Java (Portugis)