Basis (aljabar linear)

"Vektor basis" beralih ke halaman ini. Untuk vektor basis dalam konteks kristal, lihat Struktur kristal. Untuk konsep yang lebih umum dalam fisika, lihat Kerangka acuan.

Vektor yang sama (panah berwarna biru tua) dapat dinyatakan dengan menggunakan dua basis yang berbeda (panah-panah berwarna ungu dan berwarna merah).

Dalam matematika, sebarang himpunan vektor B dalam suatu ruang vektor V disebut basis, jika setiap elemen di V dapat dituliskan sebagai kombinasi linear terhingga yang unik dari elemen-elemen di B. Koefisien-koefisien pada kombinasi linear tersebut disebut sebagai koordinat dari vektor terhadap B. Elemen-elemen dari basis disebut sebagai vektor basis. Basis juga dapat didefinisikan sebagai himpunan B yang elemen-elemennya saling bebas linear dan setiap elemen di V adalah kombinasi linear dari elemen-elemen di B.^[1] Dengan kata lain, basis adalah himpunan merentang (spanning) yang bebas linear.

Suatu ruang vektor dapat memiliki beberapa basis; namun semua basis tersebut akan memiliki jumlah elemen yang sama, yang disebut sebagai dimensi dari ruang vektor. Artikel ini secara umum membahas ruang-ruang vektor berdimensi hingga. Akan tetapi, banyak prinsip yang disampaikan juga berlaku untuk ruang vektor dimensi tak-hingga.

Definisi

Basis untuk ruang vektor ${\displaystyle V}$ (atas medan ${\displaystyle F}$) adalah suatu himpunan bagian ${\displaystyle B\subset V}$ yang memenuhi:

1. Setiap ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ dapat dituliskan sebagai ${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{k}a_{i}\mathbf {b} _{i}}$ dengan ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,a_{1},\ldots ,a_{k}\in F,\mathbf {b} _{1},\ldots ,\mathbf {b} _{k}\in B}$.
2. Jika ${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{\tilde {k}}{\tilde {a}}_{i}{\tilde {\mathbf {b} }}_{i}}$ representasi lain, maka ${\displaystyle k={\tilde {k}}}$ dan ada suatu permutasi ${\displaystyle \iota :\{1,\ldots ,k\}\to \{1,\ldots ,k\}}$ yang ${\displaystyle a_{i}={\tilde {a}}_{\iota (i)}}$ dan ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}={\tilde {\mathbf {b} }}_{\iota (i)}}$.

Sebarang basis ${\displaystyle B}$ dari suatu ruang vektor ${\displaystyle V}$ atas lapangan ${\displaystyle F}$ (seperti bilangan riil ${\displaystyle \mathbb {R} }$ atau bilangan kompleks ${\displaystyle \mathbb {C} }$) adalah suatu subset dari ${\displaystyle V}$ yang saling bebas linear dan merentang ${\displaystyle V}$. Hal ini mengartikan suatu subset ${\displaystyle B}$ dari ${\displaystyle V}$ merupakan basis jika memenuhi dua syarat berikut:

kebebasan linear

Untuk setiap subset terhingga ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{m}\}}$ dari ${\displaystyle B}$, jika ${\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{m}\mathbf {v} _{m}=\mathbf {0} }$ untuk suatu ${\displaystyle c_{1},\dotsc ,c_{m}}$ di F, maka ${\displaystyle c_{1}=\cdots =c_{m}=0}$;

merentang linear

Untuk setiap vektor ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$, terdapat ${\displaystyle n}$ skalar ${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}}$ di F dan ${\displaystyle n}$ vektor ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{n}}$ di B, sehingga ${\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}}$.

Skalar-skalar ${\displaystyle a_{i}}$ disebut koordinat dari vektor ${\displaystyle \mathbf {v} }$ terhadap basis ${\displaystyle B}$, dan berdasarkan sifat pertama, nilai mereka unik (tunggal). Ruang vektor disebut berdimensi hingga jika ruang vektor tersebut memiliki basis dengan total elemen yang berhingga.

Vektor-vektor basis seringkali (dan terkadang harus) perlu memiliki urutan total untuk mempermudah pembahasan. Sebagai contoh, ketika basis digunakan untuk membahas orientasi, atau untuk membahas koefisien-koefisien vektor terhadap suatu basis tanpa perlu merujuk secara eksplisit elemen-elemen dari basis. Istilah basis terurut terkadang digunakan untuk mempertegas bahwa suatu urutan telah dipilih; yang sebenarnya menyebabkan basis bukan lagi sebagai suatu himpunan tak-terurut, melainkan sebagai suatu barisan (atau sejenisnya). Pembahasan lebih lanjut tersedia di bagian Koordinat di bawah.

Contoh

Gambar ini mengilustrasikan basis standar di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ yang elemennya adalah vektor biru dan oranye. Vektor hijau dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis, mengakibatkan vektor ini bergantung linear pada mereka.

Himpunan ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ dari pasangan terurut bilangan riil adalah suatu ruang vektor dibawah operasi penjumlahan komponen-demi-komponen$${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$$dan perkalian$${\displaystyle \lambda (a,b)=(\lambda a,\lambda b),}$$dengan ${\displaystyle \lambda }$ adalah sebarang bilangan riil. Contoh basis yang sederhana dari ruang vektor ini adalah himpunan yang berisi vektor ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(1,\,0)}$ dan ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(0,\,1)}$. Kedua vektor ini membentuk sebuah basis (yang disebut basis standar) karena sebarang vektor ${\displaystyle \mathbf {v} =(a,\,b)}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ dapat ditulis secara unik sebagai$${\displaystyle \mathbf {v} =a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}.}$$Sebarang pasangan vektor yang saling bebas linear di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, seperti ${\displaystyle (1,\,1)}$ dan ${\displaystyle (-1,\,2)}$, juga membentuk sebuah basis untuk ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Secara umum, jika ${\displaystyle F}$ berupa lapangan, maka himpunan ${\displaystyle F^{n}}$ yang berisi rangkap-n elemen-elemen dari ${\displaystyle F^{n}}$ adalah sebuah ruang vektor, dibawah operasi penjumlahan dan perkalian yang serupa dengan contoh pembuka tadi. Misalkan$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=(0,\,\ldots ,\,0,\,1,\,0,\,\ldots ,\,0)}$$adalah rangkap-n dengan semua komponennya bernilai 0, kecuali komponen ke-i, yang bernilai 1. Himpunan ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$ membentuk suatu basis (terurut) untuk ${\displaystyle F^{n},}$ yang disebut dengan basis standar dari ${\displaystyle F^{n}.}$ Contoh yang berbeda terlihat pada gelanggang polinomial. Jika ${\displaystyle F}$ berupa lapangan, himpunan ${\displaystyle F[x]}$ dari semua polinomial satu-variabel dengan koefisien-koefisiennya berada di ${\displaystyle F}$, merupakan suatu ruang vektor. Salah satu basis untuk ruang ini adalah basis monomial B, yang berisi semua monomial:$${\displaystyle B=\{1,x,x^{2},\ldots \}.}$$Contoh lain dari basis untuk ruang vektor tersebut adalah polinomial basis Bernstein dan polinomial Chebyshev.

Sifat-sifat

Banyak sifat dari basis terhingga merupakan hasil dari lema pertukaran Steinitz, yang menyatakan bahwa, untuk sebarang ruang vektor ${\displaystyle V}$, dan sebarang penetapan himpunan merentang ${\displaystyle S}$ dan himpunan bebas linear ${\displaystyle L}$ berisi ${\displaystyle n}$ elemen dari ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle n}$ elemen dari ${\displaystyle S}$ dapat dipilih sedemikian rupa untuk ditukar dengan elemen-elemen di ${\displaystyle L}$ sehingga menghasilkan suatu himpunan merentang yang: mengandung ${\displaystyle L}$, elemen-elemen yang lainnya berada di ${\displaystyle S}$, dan memiliki jumlah elemen yang sama dengan ${\displaystyle S}$. Sebagian besar sifat yang dihasilkan dari lema tersebut masih berlaku ketika tidak ada himpunan merentang yang terhingga, namun pembuktian untuk keadaan ini memerlukan aksioma pemilihan atau suatu bentuk yang lebih lemahnya, seperti lema ultrafilter.

Jika ${\displaystyle V}$ adalah ruang vektor atas lapangan ${\displaystyle F}$, maka:

• Untuk sebarang subset bebas linear ${\displaystyle L}$ dari sebarang himpunan merentang ${\displaystyle S\subseteq V}$, terdapat suatu basis ${\displaystyle B}$ sehingga $${\displaystyle L\subseteq B\subseteq S.}$$
• ${\displaystyle V}$ memiliki basis (hal ini dapat dihasilkan dari sifat sebelumnya dengan memilih ${\displaystyle L}$ sebagai himpunan kosong, dan ${\displaystyle S=V}$).
• Setiap basis dari ${\displaystyle V}$ memiliki kardinalitas yang sama, yang disebut dengan dimensi dari ${\displaystyle V}$. Pernyataan ini dikenal sebagai teorema dimensi.
• Sebarang himpunan pembangkit ${\displaystyle S}$ adalah basis dari ${\displaystyle V}$ jika dan hanya jika itu bersifat minimal, artinya, ${\displaystyle S}$ bukan subset sejati (proper subset) dari sebarang himpunan yang bebas linear.

Jika ${\displaystyle V}$ adalah ruang vektor berdimensi ${\displaystyle n}$, suatu subset berisi ${\displaystyle n}$ elemen dari ${\displaystyle V}$ merupakan basis dari ${\displaystyle V}$ jika dan hanya jika:

• Subset tersebut bebas linear;
• Subset tersebut himpunan merentang dari ${\displaystyle V}$.

Koordinat

Misalkan ${\displaystyle V}$ adalah ruang vektor berdimensi ${\displaystyle n}$ (hingga) atas lapangan ${\displaystyle F}$, dan$${\displaystyle B=\{\mathbf {b} _{1},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\}}$$adalah basis dari ${\displaystyle V}$. Berdasarkan definisi dari basis, setiap ${\displaystyle \mathbf {v} }$ di ${\displaystyle V}$ dapat ditulis secara unik sebagai$${\displaystyle \mathbf {v} =\lambda _{1}\mathbf {b} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {b} _{n},}$$dengan koefisien-koefisien ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ adalah skalar (yaitu, elemen-elemen dari ${\displaystyle F}$), yang disebut sebagai koordinat dari ${\displaystyle \mathbf {v} }$ atas ${\displaystyle B}$. Akan tetapi, pembahasan terkait himpunan koefisien akan menghilangkan hubungan antara koefisien-koefisien dari elemen-elemen basis, dan beberapa vektor berbeda dapat memiliki himpunan koefisien yang sama. Sebagai contoh, vektor ${\displaystyle 3\mathbf {b} _{1}+2\mathbf {b} _{2}}$ dan ${\displaystyle 2\mathbf {b} _{1}+3\mathbf {b} _{2}}$ yang berbeda memiliki himpunan koefisien ${\displaystyle \{2,\,3\}}$ yang sama. Oleh karena itu, konsep basis terurut umum digunakan untuk mempermudah pembahasan. Hal ini dilakukan dengan mengindeks elemen-elemen basis menggunakan bilangan asli. Koordinat dari vektor juga diindeks dengan cara yang sama, sehingga vektor dapat dikarakterisasi seutuhnya dari barisan koordinat mereka.

Misalkan, seperti biasa, ${\displaystyle F^{n}}$ adalah himpunan rangkap-n dari elemen-elemen di ${\displaystyle F}$). Himpunan ini adalah ruang vektor-${\displaystyle F}$, dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar-nya dilakukan secara komponen-demi-komponen. Pemetaan$${\displaystyle \varphi :(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\mapsto \lambda _{1}\mathbf {b} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {b} _{n}}$$adalah suatu isomorfisme linear dari ruang vektor ${\displaystyle F^{n}}$ pada (onto) ${\displaystyle V}$. Dalam kata lain, ${\displaystyle F^{n}}$ adalah ruang koordinat dari ${\displaystyle V}$, dan rangkap-n ${\displaystyle \varphi ^{-1}(\mathbf {v} )}$ adalah vektor koordinat dari ${\displaystyle \mathbf {v} }$. Secara khusus, invers bayangan dari ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$ oleh ${\displaystyle \varphi }$ adalah vektor ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$, yang setiap komponennya bernilai 0, kecuali komponen ke-i yang bernilai 1. Himpunan ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ membentuk suatu basis terurut bagi ${\displaystyle F^{n}}$, yang disebut dengan basis standar atau basis kanonik.

Perubahan basis

Artikel utama: Perubahan basis

Misalkan ${\displaystyle V}$ adalah ruang vektor berdimensi ${\displaystyle n}$ atas lapangan F. Untuk dua basis (terurut) ${\displaystyle B_{\text{lama}}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$ dan ${\displaystyle B_{\text{baru}}=(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n})}$, terkadang menguntungkan untuk menyatakan koordinat dari suatu vektor ${\displaystyle \mathbf {z} }$ atas ${\displaystyle B_{\mathrm {lama} }}$, dalam bentuk koordinat atas ${\displaystyle B_{\mathrm {baru} }}$. Hal ini secara umum dilakukan karena pembahasan melibatkan ekspresi matematika yang menggunakan koordinat lama.

Umumnya, koordinat vektor-vektor basis baru dinyatakan atas basis lama, yakni,$${\displaystyle \mathbf {w} _{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}.}$$Jika ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ dan ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$ adalah koordinat vektor ${\displaystyle \mathbf {z} }$, masing-masing atas basis lama dan atas basis baru, maka rumus perubahan basis adalah$${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},}$$Untuk ${\displaystyle i=1,\,\dots ,\,n.}$ Rumus tersebut dapat ditulis lebih ringkas dengan menggunakan notasi matriks. Misalkan ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah matriks dengan entri-entri ${\displaystyle a_{i,j}}$, dan$${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\quad {\text{dan}}\quad \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}}$$adalah vektor kolom dari koordinat ${\displaystyle \mathbf {z} }$ masing-masing atas basis lama dan atas basis baru. Rumus perubahan basis dapat ditulis sebaga$${\displaystyle x=\mathbf {A} y.}$$Rumus ini dapat dibuktikan dengan menguraikan vektor ${\displaystyle \mathbf {z} }$ pada kedua basis: di satu sisi kita memiliki$${\displaystyle \mathbf {z} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {v} _{i},}$$dan di sisi lain,$${\displaystyle \mathbf {z} =\sum _{j=1}^{n}y_{j}\mathbf {w} _{j}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}{\biggr )}\mathbf {v} _{i}.}$$Karena penguraian vektor atas suatu basis bersifat unik, kita dapatkan hubungan$${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},}$$untuk i = 1, ..., n.

Bukti bahwa semua ruang vektor memiliki basis

Misalkan ${\displaystyle V}$ adalah sebarang ruang vektor atas lapangan ${\displaystyle F}$, dan ${\displaystyle X}$ adalah himpunan semua subset yang bebas linear di ${\displaystyle V}$. Himpunan ${\displaystyle X}$ tidak kosong karena berisi himpunan kosong (yang merupakan subset dari ${\displaystyle V}$ dan bebas linear). Himpunan ${\displaystyle X}$ juga terurut parsial oleh operasi inklusi, yang dinyatakan secara umum dengan ${\displaystyle \subseteq }$.

Misalkan ${\displaystyle Y}$ adalah suatu subset dari ${\displaystyle X}$ yang terurut total oleh ${\displaystyle \subseteq }$, dan misalkan ${\displaystyle L_{Y}}$ adalah gabungan dari semua elemen di ${\displaystyle Y}$. Karena ${\displaystyle (Y,\,\subseteq )}$ terurut total, setiap subset terhingga dari ${\displaystyle L_{Y}}$ adalah suatu subset dari suatu elemen di ${\displaystyle Y}$, yang merupakan suatu subset bebas linear dari ${\displaystyle V}$. Akibatnya, ${\displaystyle L_{Y}}$ juga bersifat bebas linear, sehingga termasuk elemen dari ${\displaystyle X}$. Hal ini mengartikan ${\displaystyle L_{Y}}$ adalah batas atas bagi ${\displaystyle Y}$ dalam ${\displaystyle (X,\,\subseteq )}$: himpunan itu adalah elemen dari ${\displaystyle X}$, dan berisi semua elemen dari ${\displaystyle Y}$.

Karena ${\displaystyle X}$ tak-kosong, dan semua subset terurut total dari ${\displaystyle (X,\,\subseteq )}$ memiliki batas atas dalam ${\displaystyle X}$, lema Zorn menyatakan bahwa ${\displaystyle X}$ memiliki elemen maksimal. Dalam kata lain, terdapat elemen ${\displaystyle L_{\text{max}}}$ di ${\displaystyle X}$ yang memenuhi kondisi: kapanpun ${\displaystyle L_{\text{max}}\subseteq L}$ untuk suatu elemen ${\displaystyle L}$ dari ${\displaystyle X}$, maka ${\displaystyle L=L_{\text{max}}}$.

Karena ${\displaystyle L_{\text{max}}}$ elemen dari ${\displaystyle X}$, kita menyimpulkan ${\displaystyle L_{\text{max}}}$ adalah subset yang bebas linear di ${\displaystyle V}$. Sekarang kita cukup membuktikan ${\displaystyle L_{\text{max}}}$ adalah basis dari ${\displaystyle V}$.

Anggap ada suatu vektor ${\displaystyle \mathbf {w} }$ di ${\displaystyle V}$ yang tidak berada dalam rentang (span) dari ${\displaystyle L_{\text{max}}}$, maka ${\displaystyle \mathbf {w} }$ bukan menjadi elemen dari ${\displaystyle L_{\text{max}}}$. Misalkan ${\displaystyle L_{\mathbf {w} }=L_{\text{max}}\cup \{w\}}$. Himpunan ini adalah elemen dari ${\displaystyle X}$ (karena ${\displaystyle \mathbf {w} }$ tidak berada dalam rentang ${\displaystyle L_{\text{max}}}$, dan ${\displaystyle L_{\text{max}}}$ bebas linear) mengakibatkannya merupakan subset yang bebas linear di ${\displaystyle V}$. Karena ${\displaystyle L_{\text{max}}\subseteq L_{\mathbf {w} }}$ namun ${\displaystyle L_{\text{max}}\neq L_{\mathbf {w} }}$ (karena ${\displaystyle L_{\mathbf {w} }}$ mengandung ${\displaystyle \mathbf {w} }$ yang tidak ada di ${\displaystyle L_{\text{max}}}$), hal ini berkontradiksi dengan maksimalitas dari ${\displaystyle L_{\text{max}}}$. Alhasil, ${\displaystyle L_{\text{max}}}$ merentang ${\displaystyle V}$.

Kita dapatkan ${\displaystyle L_{\text{max}}}$ bebas linear dan merentang ${\displaystyle V}$, menjadikannya sebagai basis bagi ${\displaystyle V}$ dan membuktikan bahwa semua ruang vektor memiliki basis. Bukti ini membutuhkan lema Zorn, yang setara dengan aksioma pemilihan. Kebalikan dari hubungan di atas juga telah dibuktikan, bahwa jika semua ruang vektor memiliki basis, maka aksioma pemilihan benar.^[2] Akibatnya, dua pernyataan ini bersifat setara.

Catatan kaki

1. Halmos, Paul Richard (1987). Finite-Dimensional Vector Spaces (edisi ke-4th). New York: Springer. hlm. 10. ISBN 978-0-387-90093-3. 
2. Blass 1984

Referensi

Referensi umum

• Blass, Andreas (1984), "Existence of bases implies the axiom of choice" (PDF), Axiomatic set theory, Contemporary Mathematics volume 31, Providence, R.I.: American Mathematical Society, hlm. 31–33, ISBN 978-0-8218-5026-8, MR 0763890 
• Brown, William A. (1991), Matrices and vector spaces, New York: M. Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5 
• Lang, Serge (1987), Linear algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6 

Referensi sejarah

• Banach, Stefan (1922), "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations)" (PDF), Fundamenta Mathematicae (dalam bahasa Prancis), 3: 133–181, doi:10.4064/fm-3-1-133-181, ISSN 0016-2736 
• Bolzano, Bernard (1804), Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry) (dalam bahasa Jerman) 
• Bourbaki, Nicolas (1969), Éléments d'histoire des mathématiques (Elements of history of mathematics) (dalam bahasa Prancis), Paris: Hermann 
• Dorier, Jean-Luc (1995), "A general outline of the genesis of vector space theory", Historia Mathematica, 22 (3): 227–261, doi:10.1006/hmat.1995.1024 , MR 1347828 
• Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822), Théorie analytique de la chaleur (dalam bahasa Prancis), Chez Firmin Didot, père et fils 
• Grassmann, Hermann (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (dalam bahasa Jerman) , reprint: Hermann Grassmann. Translated by Lloyd C. Kannenberg. (2000), Extension Theory, Kannenberg, L.C., Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2031-5 
• Hamel, Georg (1905), "Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)+f(y)", Mathematische Annalen (dalam bahasa Jerman), Leipzig, 60 (3): 459–462, doi:10.1007/BF01457624  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Hamilton, William Rowan (1853), Lectures on Quaternions, Royal Irish Academy 
• Möbius, August Ferdinand (1827), Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry) (dalam bahasa Jerman), diarsipkan dari versi asli tanggal 2009-04-12  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Moore, Gregory H. (1995), "The axiomatization of linear algebra: 1875–1940", Historia Mathematica, 22 (3): 262–303, doi:10.1006/hmat.1995.1025  
• Peano, Giuseppe (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (dalam bahasa Italia), Turin 

Pranala luar

• Video pembelajaran dari Khan Academy (bahasa Inggris)
  • Introduction to bases of subspaces
  • Proof that any subspace basis has same number of elements
• "Linear combinations, span, and basis vectors". Essence of linear algebra. August 6, 2016. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-11-17 – via YouTube.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Basis", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4