米迪定理說明如果将 a p {\displaystyle {\frac {a}{p}}} 化为b进制小数(其中p为质数,a是小于p的正整数),且小数的循环节长度是偶数[注 1],则有以下性质:
這個定理還可再推廣为广义米迪定理:若把长度2n的循环节划分为长度为k的 2 n k {\displaystyle {\frac {2n}{k}}} 个组,即 0. a 1 a 2 ⋯ ⋯ --> a k a k + 1 ⋯ ⋯ --> a 2 k ⋯ ⋯ --> a 2 n − − --> k + 1 a 2 n − − --> k + 2 ⋯ ⋯ --> a 2 n ¯ ¯ --> {\displaystyle 0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{k}a_{k+1}\cdots a_{2k}\cdots a_{2n-k+1}a_{2n-k+2}\cdots a_{2n}}}} ,则 a 1 a 2 . . . a k + a k + 1 a k + 2 . . . a 2 k + . . . + a 2 n − − --> k + 1 a l − − --> k + 2 . . . a 2 n {\displaystyle a_{1}a_{2}...a_{k}+a_{k+1}a_{k+2}...a_{2k}+...+a_{2n-k+1}a_{l-k+2}...a_{2n}} 是 b k − − --> 1 {\displaystyle b^{k}-1} 的倍數。
循环节长度是16,是偶数,可应用米迪定理。
循环节长度是18,是偶数,可应用米迪定理。
米迪定理可以用群论中的结果来证明。然而,也可以用算术和同余来证明米迪定理:
设p为素数,a/p是0与1之间的分数。假设在b进制中,a/p的展开式的周期为l,所以:
其中N是在b进制中的展开式为a1a2...al的整数。
因为 a p ( b l − − --> 1 ) = N {\displaystyle {\frac {a}{p}}(b^{l}-1)=N} 且N为整数,所以 b l − − --> 1 {\displaystyle b^{l}-1} 必为p的倍数。另外,对于任何小于l的n,bn−1都不是p的倍数,否则在b进制中a/p的周期将小于l,这是不可能的。
现在,假设l=hk。那么bl−1是bk − 1的倍数。设bl − 1 = m(bk − 1),因此:
但bl−1是p的倍数;bk−1不是p的倍数(因为k小于l);且p是素数;因此m一定是p的倍数,且
是整数。也就是说:
现在,把a1a2...al分成h个长度为k的部分,并设它们在b进制中表示N0...Nh − 1,所以:
为了证明b进制中广义的米迪定理,我们必须证明h个整数Ni的和是bk − 1的倍数。
由于bk被bk−1除余1,任何bk的幂被bk − 1除也余1。因此:
这就证明了b进制中广义的米迪定理。
为了证明原先的米迪定理,取h = 2的特殊情况。注意N0和N1在b进制中都由k个数字表示,所以都满足
N0和N1不能都等于0(否则a/p = 0),也不能都等于bk − 1(否则a/p = 1),因此:
由于N0 + N1是bk − 1的倍数,所以有:
William G. Leavitt. A THEOREM ON REPEATING DECIMALS. The American Mathematical Monthly. 1967年6月, 74 (6): 669–673 [2014-12-29]. (原始内容存档于2018-07-23).