科普兰-埃尔德什常数

科普兰-埃尔德什常数

科普兰-埃尔德什常数
識別
種類	無理數
位數數列編號	A033308
性質
定義	${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}10^{-\left(n+\sum _{k=1}^{n}\lfloor \log _{10}{p_{k}}\rfloor \right)}}$
連分數	[0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …]
表示方式
值	0.235711131719...
二进制	0.001111000101011110010000…
十进制	0.235711131719232931374143…
十六进制	0.3C579092098975475A5C13B9…
查 论 编

克柏蘭-艾狄胥常數（英語：Copeland–Erdős constant）是將十進制下的質數依序排出，前面再加上"0."後所得的常數，其數值為

0.235711131719232931374143… （OEIS數列A033308）.

此常數是無理數，可以由狄利克雷定理或伯特蘭-切比雪夫定理證明^[1]:113。

依類似的證明方式，用所有符合等差数列dn + a的質數（其中a和d及10都互質，例如例如4n + 1或8n + 1形式的質數）加"0."後所得的常數都是無理數。

在十進位下，克柏蘭-艾狄胥常數是正规数，這是由亚瑟·赫伯特·克柏蘭（英语：Arthur Herbert Copeland）及保羅·艾狄胥在1946年所證明的，這也是此常數名稱的由來。

此常數可以由下式計算而得

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}10^{-\left(n+\sum _{k=1}^{n}\lfloor \log _{10}{p_{k}}\rfloor \right)}}$

其中p_n是第n個質數。

其連分數為[0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …] (A030168)。

相關常數

在任意b位制下，以下的常數

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b^{-p_{n}},\,}$

在b位制下可以寫做0.0110101000101000101…_b 其中若n為質數，第n位就是1

此數字為無理數^[1]:112

相關條目

• Smarandache–Wellin数：上述常數乘以適當的十的次幂後，取整數產生的數列。

參考資料

1. Hardy, G. H.; Wright, E. M., An Introduction to the Theory of Numbers 5th, Oxford University Press, 1938, ISBN 0-19-853171-0 

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. Copeland-Erdos Constant. MathWorld.