札克变换

在数学中，札克变换^{[1] [2]} （英文：Zak Transform，也称盖尔范德映射）是一种变换，输入是一个一元函数，输出是一个二元函数。输出函数称为输入函数的札克变换。该变换以无穷级数定义，其中每一项都是该函数的特定取值和复指数函数的乘积。在信号处理中，札克变换的输入为时域信号，输出是该信号的混合时频表示。输入信号取值可为实值或复值，可定义在连续集（如全体实数）或离散集（如整数或整数的子集）上。札克变换是离散时间傅立叶变换的推广。 ^{[1] [2]}

札克变换在不同领域被多人独立发现，各自命名。伊斯拉埃尔·盖尔范德在其关于特征函数的工作中首次引入了这一变换，因而其也被称为盖尔范德映射。1967年，约书亚·札克独立地重新发现了这一变换，称之为“k-q表示”。本领域工作者普遍称这一变换为札克变换，因为札克首先意识到了它的应用前景，并在更一般的情况下，对其进行了更系统的研究。^[1][2]

连续时间札克变换：定义

在连续时间札克变换中，假定输入函数为实变函数，设${\displaystyle f(t)}$ 为实变量t的函数, ${\displaystyle f(t)}$的连续时间札克变换结果为一个二元函数，其中一个变量是t ，另一个变量用w表示，可由如下多种方式定义：

定义1

设a为大于0的常数，${\displaystyle f(t)}$的连续时间札克变换可定义如下：^[1]

${\displaystyle Z_{a}[f](t,w)={\sqrt {a}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(at+ak)e^{-2\pi kwi}}$

定义2

在定义1中，有时取a = 1。^[2] 在这种情况下，${\displaystyle f(t)}$的连续时间札克变换可以简化为：

${\displaystyle Z[f](t,w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+k)e^{-2\pi kwi}}$

定义3

有时，连续时间札克变换可由定义1简化为不同于定义2的另一种形式。在这种形式下， ${\displaystyle f(t)}$的连续时间札克变换为：

${\displaystyle Z[f](t,\nu )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+k)e^{-k\nu i}}$

定义4

设T为为大于0的常数。 ${\displaystyle f(t)}$的连续时间札克变换也可由下式定义：^[2]

${\displaystyle Z_{T}[f](t,w)={\sqrt {T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+kT)e^{-2\pi kwTi}}$

此时，t与w满足：${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant T}$, ${\displaystyle 0\leqslant w\leqslant {\frac {1}{T}}}$

示例

试求如下函数的札克变换：

${\displaystyle \phi (t)={\begin{cases}1,&0\leq t<1\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

解：

${\displaystyle Z[\phi ](t,w)=e^{-2\pi \lceil -t\rceil wi}}$

其中${\displaystyle \lceil -t\rceil }$表示不小于${\displaystyle -t}$的最小整数（ceil函数）。

札克变换的性质

以下讨论中的札克变换均采用定义二：

1.线性

设a和b为任意复数，则：

${\displaystyle Z[af+bg](t,w)=aZ[f](t,w)+bZ[g](t,w)}$

2.周期性

${\displaystyle Z[f](t,w+1)=Z[f](t,w)}$

3.准周期性

${\displaystyle Z[f](t+1,w)=e^{2\pi wi}Z[f](t,w)}$

4.共轭性

${\displaystyle Z[{\bar {f}}](t,w)={\overline {Z[f]}}(t,-w)}$

5.对偶性

若${\displaystyle f(t)}$是偶函数，则：${\displaystyle Z[f](t,w)=Z[f](-t,-w)}$

若${\displaystyle f(t)}$是奇函数，则：${\displaystyle Z[f](t,w)=-Z[f](-t,-w)}$

6.卷积性

令${\displaystyle \star }$表示对变量t的卷积：

${\displaystyle Z[f\star g](t,w)=Z[f](t,w)\star Z[g](t,w)}$

逆变换公式

给定函数的札克变换，原函数可用下式计算：

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{1}Z[f](t,w)\,dw.}$

离散札克变换：定义

设${\displaystyle f(n)}$是一个定义在整数域上的函数，即自变量n是一个整数，满足${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ 。与连续时间札克变换相同，${\displaystyle f(n)}$的离散札克变换同样是一个二元函数，其中一个自变量是${\displaystyle n}$ ，另一个变量是一个实数，表示为${\displaystyle w}$ ；离散札克变换同样有不同的定义，下面给出其中一种定义方式：

定义

函数的离散札克变换${\displaystyle f(n)}$，记为${\displaystyle Z[f]}$，由下式定义，其中${\displaystyle n}$是一个整数：

${\displaystyle Z[f](n,w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(n+k)e^{-2\pi kwi}.}$

逆变换公式

给定函数的离散札克变换${\displaystyle f(n)}$ ，原函数可用下式计算：

${\displaystyle f(n)=\int _{0}^{1}Z[f](n,w)\,dw.}$

应用

札克变换在物理学中的量子场论、 ^[3]电气工程中信号的时频表示与数字通信中均有应用。

参考文献

1. Zak transform. Encyclopedia of Mathematics. [15 December 2014]. （原始内容存档于2014-12-19）. 
2. Alexander D. Poularikas (编). Transforms and Applications Handbook 3rd. CRC Press. 2010: 16.1–16.21. ISBN 978-1-4200-6652-4. 
3. J. Klauder, B.S. Skagerstam. Coherent States. World Scientific. 1985.