布朗面

三维布朗面的一种实现

布朗面是分形高程函数形成的分形面。^[1][2][3]

布朗面得名于布朗运动。

示例

以三维情形为例，给出两个变量X、Y为坐标，任意两点(x₁, y₁)、(x₂, y₂)之间的高程函数可置为具有随(x₁, y₁)、(x₂, y₂)的向量距离增加而增加的平均值或期望值。^[1]不过，定义高程函数的方法有很多。例如，可以使用分数布朗运动变量，也可以使用各种旋转函数来获得看起来更自然的曲面。^[2]

分数布朗面的生成

高效地生成分数布朗面是一项重大挑战。^[4]由于布朗面代表了具有非稳协方差函数的高斯过程，可以用科列斯基分解法。更有效的是Stein法，^[5]使用循环嵌入法生成辅助的稳态高斯过程，然后调整之，以得到所需的非稳态过程。下图显示了粗糙度或赫斯特指数不同时，3种典型实现的分数布朗面。赫斯特参数始终介于0和1之间，越接近1表面越光滑。这些曲面是用Stein法的Matlab实现 （页面存档备份，存于互联网档案馆）的。

不同赫斯特参数值下的分数布朗面。参数越大，曲面越平滑。

另见

• 维纳过程
• 分数布朗运动

参考文献

1. Russ, John C. Fractal surfaces, Volume 1. 1994: 167. ISBN 0-306-44702-9. 
2. Xie, Heping. Fractals in rock mechanics. 1993: 73. ISBN 90-5410-133-4. 
3. Vicsek, Tamás. Fractal growth phenomena. 1992: 40. ISBN 981-02-0668-2. 
4. Kroese, D.P.; Botev, Z.I. Spatial Process Generation. Lectures on Stochastic Geometry, Spatial Statistics and Random Fields, Volume II: Analysis, Modeling and Simulation of Complex Structures, Springer-Verlag, Berlin. 2015: 369–404. Bibcode:2013arXiv1308.0399K. arXiv:1308.0399 . doi:10.1007/978-3-319-10064-7_12. 
5. Stein, M. L. Fast and exact simulation of fractional Brownian motion. Journal of Computational and Graphical Statistics. 2002, 11 (3): 587–599. S2CID 121718378. doi:10.1198/106186002466.