通过古氏积木 体现12是一个实际数。 實際數 （英語：practical number ）是指任意正整數n 使得所有小於n 的正整數都可以用數個n 的相異真因數和表示。例如12的真因數 有1, 2, 3, 4及6，而1至11的數字中有幾個不是12的真因數，但都可以表示為數個相異真因數 的和：5=3+2, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+3+1及11=6+3+2。
以下是實際數的列表（OEIS 數列A005153 ）：1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....
12,13世紀的義大利數學家斐波那契 在其著作《計算之書 》（Liber Abaci）中，在說明如何用埃及分數 的和表示有理數時有用到實際數。斐波那契沒有正式的定義實際數，但其中有一個表，其中有許多分數的分母為實際數[ 1]
實際數（practical number）一詞最早是由Srinivasan在1948年開始使用，他希望可以找出有這類性質的數字[ 2] [ 3] [ 4] 質因數分解 可以判斷是否是實際數，所有2的幂 及偶數的完全數 都是實際數。
已發現實際數和質數有許多類似的特質[ 5] [ 6] [ 7] [ 8]
一個正整數可以由其質因數分解 看出是否是實際數[ 3] [ 4]
n
=
p
1
α α -->
1
.
.
.
p
k
α α -->
k
{\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}}
n
>
1
{\displaystyle n>1}
p
1
<
p
2
<
⋯ ⋯ -->
<
p
k
{\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}}
若且唯若
p
1
=
2
{\displaystyle p_{1}=2}
k 之間的i ：
p
i
≤ ≤ -->
1
+
σ σ -->
(
p
1
α α -->
1
… … -->
p
i
− − -->
1
α α -->
i
− − -->
1
)
=
1
+
∏ ∏ -->
j
=
1
i
− − -->
1
p
j
α α -->
j
+
1
− − -->
1
p
j
− − -->
1
,
{\displaystyle p_{i}\leq 1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}}\dots p_{i-1}^{\alpha _{i-1}})=1+\prod _{j=1}^{i-1}{\frac {p_{j}^{\alpha _{j}+1}-1}{p_{j}-1}},}
其中
σ σ -->
(
x
)
{\displaystyle \sigma (x)}
x 的除數函數 。
例如3 ≤ σ(2)+1 = 4，29 ≤ σ(2 × 32 )+1 = 40，及823 ≤ σ(2 × 32 × 29)+1=1171，因此2 × 32 × 29 × 823 = 429606為一實際數。
由於以上條件成立時，才能用其他較小的因數和表示
p
i
− − -->
1
{\displaystyle p_{i}-1}
所有2的幂 都是實際數[ 2] 完全數 也都是實際數[ 2] 歐拉 的研究，偶數的完全數可以表示為2n − 1n
任一個質數階乘 也都是實際數[ 2] 伯特蘭－切比雪夫定理 ，質數階乘中最大的質數會小於次大質數和最小質數（2）的乘積，因此滿足實際數的充份必要條件。前k 個質數幂次的乘積也都是實際數，包括階乘 以及斯里尼瓦瑟·拉馬努金 提出的高合成數 [ 2]
若n 為實際數，則小於1的有理數 m /n 可以表示∑di /n 來表示，其中di 為n 的相異因數，此式的每一項都可以化簡為單位分數 ，因此此式即為m /n 的埃及分數 表示式。例如
13
20
=
10
20
+
2
20
+
1
20
=
1
2
+
1
10
+
1
20
.
{\displaystyle {\frac {13}{20}}={\frac {10}{20}}+{\frac {2}{20}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}.}
斐波那契在其著作《計算之書 》（Liber Abaci）中列出許多用埃及分數表示有理數的方式，首先先確認分數是否可以直接化簡為單位分數 ，再來則是設法將分子表示為分母因數的和，此方式只在分母為實際數時有效[ 1]
實際數特別的一點是其許多性質都類似質數 。例如假設p (x )為小於x 實際數的個數，Saias證明存在常數c 1 及 c 2 使得下式成立[ 8]
c
1
x
log
-->
x
<
p
(
x
)
<
c
2
x
log
-->
x
,
{\displaystyle c_{1}{\frac {x}{\log x}}<p(x)<c_{2}{\frac {x}{\log x}},}
以上公式可以對應素數的素數定理 。此證明解答了Margenstern的猜想：存在特定常數c ，使得p (x )漸近於cx /log x [ 6] 保罗·埃尔德什 所提出：實際數在正整數中的密度為0的論點[ 9]
實際數也有對應哥德巴赫猜想 及孿生質數猜想 的定理：每一個偶數可以表示為二個實際數的和，以及存在無限多個 x − 2, x , x + 形式的實際數[ 7] 斐波那契数列 中存在無限多個實際數，素數對應的問題是是否存在無限多個斐波那契質數 ，此問題仍為開放問題，還沒有被證明，但也還找不到反例。Hausman及Shapiro證明若x 為正實數，在[x 2 ,(x + 1)2 ]區間內存在實際數，可以對應質數中的勒讓德猜想 [ 5]
^ 1.0 1.1 Sigler, Laurence E. (trans.), Fibonacci's Liber Abaci, Springer-Verlag: 119–121, 2002, ISBN 0-387-95419-8 ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Srinivasan, A. K., Practical numbers (PDF) , Current Science, 1948, 17 : 179–180 [2013-01-13 ] , MR 0027799 存档 (PDF) 于2019-11-16） ^ 3.0 3.1 Stewart, B. M., Sums of distinct divisors, American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press), 1954, 76 (4): 779–785, JSTOR 2372651 MR 0064800 doi:10.2307/2372651 ^ 4.0 4.1 Sierpiński, Wacław, Sur une propriété des nombres naturels, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 1955, 39 (1): 69–74, doi:10.1007/BF02410762 ^ 5.0 5.1 Hausman, Miriam; Shapiro, Harold N., On practical numbers, Communications on Pure and Applied Mathematics, 1984, 37 (5): 705–713, MR 0752596 doi:10.1002/cpa.3160370507 ^ 6.0 6.1 Margenstern, Maurice, Les nombres pratiques: théorie, observations et conjectures, Journal of Number Theory, 1991, 37 (1): 1–36, MR 1089787 doi:10.1016/S0022-314X(05)80022-8 ^ 7.0 7.1 Melfi, Giuseppe, On two conjectures about practical numbers, Journal of Number Theory, 1996, 56 (1): 205–210, MR 1370203 doi:10.1006/jnth.1996.0012 ^ 8.0 8.1 Saias, Eric, Entiers à diviseurs denses, I, Journal of Number Theory, 1997, 62 (1): 163–191, MR 1430008 doi:10.1006/jnth.1997.2057 ^ Erdős, Paul; Loxton, J. H., Some problems in partitio numerorum, Journal of the Australian Mathematical Society (Series A), 1979, 27 (03): 319–331, doi:10.1017/S144678870001243X
和因數有關的整數分類
簡介 依因數分解分類 依因數和分類 有許多因數 和真因子和數列 有關 其他
