在谓词逻辑和依赖于它的技术领域中,唯一量化或唯一存在量化,尝试形式化对于“精确”的一个事物,或对于精确的特定类型的一个事物为真的某个事物的概念。唯一量化的一般化是计数量化。
例如:
- 恰有一个自然数 x 使得 x - 2 = 4。
符号化写为:
- ∃!x ∈ N, x - 2 = 4
符号 ∃! 叫做“唯一量词”或“唯一存在量词”。它通常被读作“有且仅有一个”、“恰有一个”、“存在唯一一个”(存在着这个符号的在文法上和如何阅读上的多个变体)。
简约为普通量词
唯一量化通常被认为是全称量化(“对于所有”,∀)、存在量化(“对于某个”,∃)和等式(“等于”,=)的组合。因此,如果 P(x) 是要在其上量化的谓词(在我们上面例子中的 P(x) 是 “x - 2 = 4”),那么 ∃!x, P(x) 意味着:
![{\displaystyle \exists x(P(x)\land \forall y(P(y)\rightarrow x=y))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/327b201bc674eef8ca0bc7c2611374e2f250db1c)
该表述等价于:
![{\displaystyle \exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b0c09aa1715e6cb2a804f56f464f06f68df671)
“正好存在一个 x 使得 P(x)”的陈述还可以写为两个更弱的陈述的逻辑合取。其中第一个简单的存在量化:∃x,P(x)。第二个是唯一性,有些人写为 !x, P(x)。它被定义为: ∀x, ∀y, P(x) ∧ P(y) → x = y。
这两个陈述的合取:
![{\displaystyle \exists x\,P(x)\land \forall x\,\forall y\,(P(x)\land P(y)\to x=y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afbcca4d3597535c6e5c391c70b862d2a49cabb7)
逻辑等价于前面给出的单一陈述。但是实际上,证明唯一存在性通常要分别证明这两个陈述。
另存在一种等效表述,优点是相当简洁:
![{\displaystyle \exists x\,\forall y\,(P(y)\leftrightarrow y=x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca7aa345abc6f21d3c66904e6d3c4d94be1c1327)
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