匹配Z变换方法

5階切比雪夫滤波器在s平面下的極點和零點，後續要用離離散濾波器來近似

離散時間切比雪夫滤波器在z平面下的極點和零點，利用匹配Z变换方法轉換到z平面，T = 1/10秒。其中的頻率點以及表示頻帶的點線是透過z=e^iωT函數映射的，可以看出s平面的iω是如何映射到z平面的單位圓上

匹配Z变换方法（matched Z-transform method）也稱為極點-零點映射（pole–zero mapping）^[1][2]或極點－零點匹配法（pole–zero matching method）^[3]，簡稱MPZ或MZT^[4]，是將連續時間（英语：Discrete_time_and_continuous_time）濾波器轉換到離散時間濾波器（数字滤波器）設計的技巧。

其作法是將所有的s平面設計時的極點和零點轉換到z平面的位置${\displaystyle z=e^{sT}}$，其中取樣週期${\displaystyle T=1/f_{\mathrm {s} }}$^[5]。因此以下傳遞函數的類比濾波器：

${\displaystyle H(s)=k_{\mathrm {a} }{\frac {\prod _{i=1}^{M}(s-\xi _{i})}{\prod _{i=1}^{N}(s-p_{i})}}}$

會轉換為以下的數位傳遞函數

${\displaystyle H(z)=k_{\mathrm {d} }{\frac {\prod _{i=1}^{M}(1-e^{\xi _{i}T}z^{-1})}{\prod _{i=1}^{N}(1-e^{p_{i}T}z^{-1})}}}$

其增益${\displaystyle k_{\mathrm {d} }}$需調整，使結果為其理想的增益，一般會和類比濾波器的直流增益匹配，透過設定${\displaystyle s=0}$及${\displaystyle z=1}$，並且求解${\displaystyle k_{\mathrm {d} }}$.^[3][6]。

因為此映射會將s平面的${\displaystyle j\omega }$軸反覆的映射到z平面的單位圓上，若零點或是極點超過奈奎斯特頻率，其映射後的位置會有混疊的情形^[7]。

一般情形下，類比濾波器的極點會比零點多，在${\displaystyle s=\infty }$處的零點可以移到奈奎斯特頻率，作法是放在${\displaystyle z=-1}$的位置^[1][3][6][7]。

此轉換方式可以保持有界輸入有界輸出穩定性以及最小相位，但不會保持時域或是頻域的響應，因此不常使用^[8][7]。較常使用的方式有雙線性轉換及冲激不变法^[4]。匹配Z变换方法的高頻響應誤差比雙線性轉換要小，因此比較容易透過加入額外的零點來修正其特性，此方式稱為MZTi（i表示改良版improved）^[9]。

在數位控制中，匹配Z变换方法有一個特別的應用，就是艾克曼公式（英语：Ackermann's formula），可以調整可控制性系統的極點，一般會將不穩定（或接近不穩定）的極點調整到穩定的位置。

類比濾波器響應（點線）以及其離散近似值（實線），正規截止頻率為1 Hz，取樣率1/T = 10 Hz。離散時間的濾波器在截止帶沒有重現切比雪夫的等漣波特性，原因是重覆映射到單位圓上引起的混疊

參考資料

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2. Bong Wie. Space vehicle dynamics and control. AIAA. 1998: 151 [2018-10-19]. ISBN 978-1-56347-261-9. （原始内容存档于2015-03-26）. 
3. Arthur G. O. Mutambara. Design and analysis of control systems. CRC Press. 1999: 652 [2018-10-19]. ISBN 978-0-8493-1898-6. （原始内容存档于2019-07-30）. 
4. Al-Alaoui, M. A. Novel Approach to Analog-to-Digital Transforms. IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers. February 2007, 54 (2): 338–350 [2018-10-19]. ISSN 1549-8328. doi:10.1109/tcsi.2006.885982. （原始内容存档于2018-06-04）. 
5. S. V. Narasimhan and S. Veena. Signal processing: principles and implementation. Alpha Science Int'l Ltd. 2005: 260 [2018-10-19]. ISBN 978-1-84265-199-5. （原始内容存档于2019-07-28）. 
6. Franklin, Gene F. Feedback control of dynamic systems. Powell, J. David, Emami-Naeini, Abbas Seventh. Boston: Pearson. 2015: 607–611 [2018-10-19]. ISBN 0133496597. OCLC 869825370. （原始内容存档于2024-02-14）. Because physical systems often have more poles than zeros, it is useful to arbitrarily add zeros at z = -1. 
7. Rabiner, Lawrence R; Gold, Bernard. Theory and application of digital signal processing. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall. 1975: 224–226. ISBN 0139141014 （英语）. The expediency of artificially adding zeros at z = —1 to the digital system has been suggested ... but this ad hoc technique is at best only a stopgap measure. ... In general, use of impulse invariant or bilinear transformation is to be preferred over the matched z transformation. 
8. Jackson, Leland B. Digital Filters and Signal Processing. Springer Science & Business Media. 1996: 262. ISBN 9780792395591 （英语）. although perfectly usable filters can be designed in this way, no special time- or frequency-domain properties are preserved by this transformation, and it is not widely used. 
9. Ojas, Chauhan; David, Gunness. Optimizing the Magnitude Response of Matched Z-Transform Filters ("MZTi") for Loudspeaker Equalization. Audio Engineering Society. 2007-09-01 [2018-10-19]. （原始内容存档于2019-07-27） （英语）.