中一新生之夢

形象化表達「Freshman's dream」的錯誤之處：上圖的正方形邊長為X+Y，正方形總面積為黃色正方形（=X²）、綠色正方形（=Y²)，以及兩個常被忽略的白色長方形（=2×X×Y）。

Freshman's dream（中文可譯「新手之夢」）指的是錯誤方程式「${\displaystyle (x+y)^{n}}$ = ${\displaystyle x^{n}+y^{n}}$」，當中 ${\displaystyle n}$ 是一個實數（通常是大於1的正整數）。初階學生經常誤以為括號外的次方可以直接分配給括號內的項^[1][2]。其實只要假設 ${\displaystyle n=2}$ 就可以簡單發現方程式並不成立：透過乘法分配律，${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}$。至於 ${\displaystyle n}$ 值更大的方程式，則可以使用二项式定理計算正確答案。

在熱帶幾何的世界，加法取代了乘法，而极值取代了加法。在此情況下，「Freshman's dream」便是正確^[3]。

「Freshman's dream」也可代指另一項定理，${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$，當中 ${\displaystyle p}$ 是質數，而 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 是在具有 ${\displaystyle p}$ 特徵的交換環上的代數。由於 ${\displaystyle p}$ 能夠整除首項和末項以外的二項式係數，使中間的所有項都等於零，所以這個「錯誤」實際上可以做到正確答案^[4]。

歷史與別名

1940年一篇有關模曲線的文章中，桑德斯·麥克蘭恩引用斯蒂芬·科尔·克莱尼指出，特徵為2的體中的公式「${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}}$」，有可能破壞中一新生的代數觀念。此為可追溯的最早將「中一新生之夢」與正特徵體的二項式展開公式連繫起來的言論^[5]，自此大部分代數課本都提及這個慣常誤解，其中1974年湯馬士·亨嘉福（英语：Thomas W. Hungerford）的代數課本似乎是首次使用「Freshman's dream」一詞^[6]。別名包括1998年莊·法黎課本中的「Freshman exponentiation」（中文可譯「中一新生之冪」）^[7]；又鑑於${\displaystyle (x+y)^{n}}$可透過二项式定理計算，因而又被稱爲「小孩的二項式定理」（Child's binomial theorem）^[8]或「中學生的二項式定理」（Schoolboy binomial theorem）^[9]。

至於「Freshman's dream」一詞則自19世紀起已在非數學範疇使用^[10][11]。

例子

• ${\displaystyle (1+4)^{2}=5^{2}=25}$，但${\displaystyle 1^{2}+4^{2}=17}$.
• ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}}$（即 ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ）在大多數情況下都不等於${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}+{\sqrt {y^{2}}}=|x|+|y|}$。例如：${\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25}}=5}$，而${\displaystyle 3+4=7}$。

質數定理

當 ${\displaystyle p}$ 是質數，而 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 是在具有 ${\displaystyle p}$ 特徵的交換環上的代數，那麼 ${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$。此理論可透過研究二項式係數的質數因數而論證：

第 n 個二項式係數為 ${\displaystyle {\binom {p}{n}}={\frac {p!}{n!(p-n)!}}}$。

由於分子是 ${\displaystyle p}$ 的階乘，所以可以被 ${\displaystyle p}$ 整除。不過當 ${\displaystyle 0<n<p}$ 之時，${\displaystyle n!}$ 和 ${\displaystyle (p-n)!}$ 都少於 ${\displaystyle p}$，因而兩者都不能被整除。但二項式係數必然是整數，因此第 n 個二項式係數可被 ${\displaystyle p}$ 整除，交換環繼而等於零。自此整條方程式只剩下第0個和第 p 個二項式係數，因此可證 ${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$。結果也證明 p 次方製造了自同态，又稱交換環的弗罗贝尼乌斯自同态^[8]。

在此方程中，${\displaystyle p}$ 必須是質數才可成立。有一相類近的定理指出，當 ${\displaystyle p}$ 是質數的話，在${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[x]}$多项式环中，${\displaystyle (x+1)^{p}\equiv x^{p}+1}$。此定理成為現代質數測試中的關鍵^[8]。

參見

• 一年級生
• 素性测试
• 弗罗贝尼乌斯自同态
• 二年級之夢

參考文獻

1. Julio R. Bastida, Field Extensions and Galois Theory, Addison-Wesley Publishing Company, 1984, p.8.
2. Fraleigh, John B., A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, 1993, p.453, ISBN 0-201-53467-3.
3. Difusión DM, Introduction to Tropical Algebraic Geometry (1 of 5), 2018-02-23 [2019-06-11], （原始内容存档于2020-06-17） 
4. How is (x+y)p≡xp+yp mod p for any prime number p. Mathematics Stack Exchange. [2020-08-12]. （原始内容存档于2022-03-25）. 
5. Colin R. Fletcher, Review of Selected papers on algebra, edited by Susan Montgomery（英语：Susan Montgomery）, Elizabeth W. Ralston and others. Pp xv, 537. 1977. ISBN 0-88385-203-9 (Mathematical Association of America), The Mathematical Gazette, Vol. 62, No. 421 (Oct., 1978), The Mathematical Association. p. 221.
6. Thomas W. Hungerford, Algebra, Springer, 1974, p. 121; also in Abstract Algebra: An Introduction, 2nd edition. Brooks Cole, July 12, 1996, p. 366.
7. John B. Fraleigh, A First Course In Abstract Algebra, 6th edition, Addison-Wesley, 1998. pp. 262 and 438.
8. Granville, Andrew. It Is Easy To Determine Whether A Given Integer Is Prime (PDF). BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY: 3–38. 2004-09-30 [2020-08-12]. （原始内容存档 (PDF)于2008-05-14）.  |volume=被忽略 (帮助)
9. EGMO Training 2017 - Exponents (mod p) (PDF). （原始内容存档 (PDF)于2017-11-19）. 
10. 1800–1900 Search for "freshman's dream". Google books. [2020-08-12]. （原始内容存档于2022-02-08）. 
11. Bentley's miscellany 26. 1849: 176.