RL电路

RL电路，全称电阻-电感电路（英語：Resistor-inductor circuit），或称RL滤波器、RL网络，是最简单的无限脉冲响应电子滤波器。它由一个电阻器、一个电感元件串联或并联组成，并由电压源驱动。^[1]

概论

最基本的被动线性元件为电阻器（R）、电容器（C）和电感元件（L）。这些元件可以被用来组成4种不同的电路：RC电路、RL电路、LC电路和RLC电路，这些名称都缘于各自所使用元件的英语缩写。它们体现了一些对于模拟电子技术来说很重要的性质。它们都可以被用作被动滤波器。本条目主要讲述RL电路串联、并联状态的情况。

在实际应用中通常使用电容器（以及RC电路）而非电感来构成滤波电路。这是因为电容更容易制造，且元件的尺寸普遍更小。

复阻抗

具有电感L（以亨利为单位）的电感元件的复阻抗Z_L（以欧姆为单位）为^[2]：

${\displaystyle Z_{L}\ =\ Ls}$

复频率s是一个复数，

${\displaystyle s\ =\ \sigma +j\omega }$

这里

• j表示虚数单位:

${\displaystyle j^{2}=-1}$

• ${\displaystyle \sigma \ }$为指数衰减常数（以每秒弧度为单位），且

• ${\displaystyle \omega \ }$为角频率（以每秒弧度为单位）

示性函数

复数函数示性函数（Eigenfunctions）对所有线性时不变系统（linear time-invariant, LTI）有以下的形式：

${\displaystyle V(t)\ =\ \mathbf {A} e^{st}\ =\ \mathbf {A} e^{(\sigma +j\omega )t}\ }$，若令${\displaystyle \mathbf {A} \ =\ Ae^{j\phi }}$，则可重写为${\displaystyle \ =\ Ae^{j\phi }e^{(\sigma +j\omega )t}}$，合并复数指数后得到${\displaystyle \ =\ Ae^{\sigma t}e^{j(\omega t+\phi )}}$

通过复数的欧拉公式，示性函数的实部为指数衰减的正弦值：

${\displaystyle v(t)\ =\ \mathrm {Re} \left\{V(t)\right\}\ =\ Ae^{\sigma t}\cos(\omega t+\phi )}$

正弦稳定状态

正弦稳定状态是当输入电压仅包含纯的正弦信号的特殊情况，即不存在指数衰减。因此^[3]：

${\displaystyle \sigma \ =\ 0}$

且s的值变为：

${\displaystyle s\ =\ j\omega }$

串联

RL电路的串联形式

如果把整个RL电路看做一个按阻抗进行分压^[2]的系统，则电感元件“分得”的电压为：

${\displaystyle V_{L}(s)={\frac {Ls}{R+Ls}}V_{in}(s)}$

电阻器“分得”的电压为：

${\displaystyle V_{R}(s)={\frac {R}{R+Ls}}V_{in}(s)}$.

电流

由于是串联电路，因此电路处处电流相等，且为：

${\displaystyle I(s)={\frac {V_{in}(s)}{R+Ls}}}$.

传递函数

电感元件的传递函数为：

${\displaystyle H_{L}(s)={V_{L}(s) \over V_{in}(s)}={Ls \over R+Ls}=G_{L}e^{j\phi _{L}}}$

类似的，电阻器的传递函数为：

${\displaystyle H_{R}(s)={V_{R}(s) \over V_{in}(s)}={R \over R+Ls}=G_{R}e^{j\phi _{R}}}$

极点和零点

两个传输函数都有一个极点位于：

${\displaystyle s=-{R \over L}}$

另外，电感元件在原点处有一个零点。

增益和相位

通过代入上面的表达式，可以求得两个组件的增益为：

${\displaystyle G_{L}=|H_{L}(s)|=\left|{\frac {V_{L}(s)}{V_{in}(s)}}\right|={\frac {\omega L}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}}$

且

${\displaystyle G_{R}=|H_{R}(s)|=\left|{\frac {V_{R}(s)}{V_{in}(s)}}\right|={\frac {R}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}}$,

相位为：

${\displaystyle \phi _{L}=\angle H_{L}(s)=\tan ^{-1}\left({\frac {R}{\omega L}}\right)}$

且

${\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(s)=\tan ^{-1}\left(-{\frac {\omega L}{R}}\right)}$.

相量表示

通常用相量代替上面的式子来表达输出^[2]：

${\displaystyle V_{L}=G_{L}V_{in}e^{j\phi _{L}}}$

${\displaystyle V_{R}=G_{R}V_{in}e^{j\phi _{R}}}$.

脉冲响应

每一种电压的冲激响应是对应传输函数的反拉普拉斯变换。它代表电路对于包含脉冲或狄拉克δ函数的输入电压的响应。

电感元件电压的响应为：

${\displaystyle h_{L}(t)=\delta (t)-{R \over L}e^{-tR/L}u(t)=\delta (t)-{1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)}$

这里u(t)是单位阶跃函数且

${\displaystyle \tau ={L \over R}}$为时间常数。

类似的，电阻器电压的响应为：

${\displaystyle h_{R}(t)={R \over L}e^{-tR/L}u(t)={1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)}$

零输入响应

RL电路的零输入响应（Zero input response， ZIR）描述了电路在不连接输入信号源的情况下、达到稳定电压和电流时的工作状态。^[4]因为它没有外接输入信号，因此得名。

一个RL电路的零输入响应为：

${\displaystyle i(t)=i(0)e^{-(R/L)t}=i(0)e^{-t/\tau }\!\ }$.

其中${\displaystyle \tau }$是时间常数。

并联

RL电路的并联形式

除非连接到电流源，RL电路的并联形式很少引起人们的兴趣。这主要是因为输出电压${\displaystyle V_{out}}$等于输入电压${\displaystyle V_{in}}$，这样，整个电路并未能充当一个电压信号的滤波器。

复阻抗为：

${\displaystyle I_{R}={\frac {V_{in}}{R}}}$

且

${\displaystyle \,\!I_{L}={\frac {V_{in}}{j\omega L}}=-{\frac {jV_{in}}{\omega L}}}$.

这表明电感元件在相位上落后电阻器（以及输入信号）90度。

RL电路的并联形式经常在放大器电路的输出级上，使放大器与负载隔离。由于电容器引入的相移，有些放大器在高频的情况会变得不稳定，容易产生振荡。这会影响电器功能（例如音响的音效品质）和其使用寿命（特别是对晶体管来说），所以应当尽量避免。

参考文献

1. 童诗白、华成英 主编. 模拟电子技术基础（第四版）. 高等教育出版社. 2006. ISBN 978-7-04-018922-3. 
2. 赵凯华，陈熙谋. 新概念物理教材：电磁学（第二版）. 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-020202-1. 
3. 李兴毅，胡玉安. 正弦交流电压激励下的RL电路瞬态响应的研究. 河南师范大学学报（自然科学版）. 2006, 34 (2). 
4. 谢国秋，蒋天. RL电路零输入响应的研究. 昆明大学学报. 2001, 12 (2). 

相关条目

• 电子滤波器
• RC电路
• LC电路
• RLC电路