AKS質數測試

AKS質數測試（又稱Agrawal–Kayal–Saxena質數測試和Cyclotomic AKS test）是一個決定型質數測試演算法 ，由三個來自印度坎普爾理工學院（英语：Indian Institute of Technology Kanpur）的計算機科學家，曼寧德拉·阿格拉瓦爾（英语：Manindra Agrawal）、尼拉吉·卡亞爾（英语：Neeraj Kayal）和尼汀·沙克謝納（英语：Nitin Saxena），在2002年8月6日發表於一篇題為質數屬於P的論文。^[1]作者們因此獲得了許多獎項，包含了2006年的哥德爾獎和2006年的富尔克森奖。這個演算法可以在多項式時間之內，決定一個給定整數是質數或者合數。

重要性

AKS最關鍵的重要性在於它是第一個被發表的一般的、多項式的、確定性的和無仰賴的質數判定算法。先前的算法至多達到了其中三點，但從未達到全部四個。

• AKS算法可以被用於檢測任何一般的給定數字是否為質數。很多已知的高速判定算法只適用於滿足特定條件的質數。例如，卢卡斯-莱默检验法僅對梅森質數適用，而Pépin測試（英语：Pépin's test）僅對費馬數適用。
• 算法的最長運行時間可以被表為一個目標數字長度的多項式。ECPP和APR能夠判斷一個給定數字是否為質數，但無法對所有輸入給出多項式時間範圍。
• 算法可以確定性地判斷一個給定數字是否為質數。隨機測試演算法，例如米勒-拉宾检验和Baillie–PSW，可以在多項式時間內對給定數字進行校驗，但只能給出概率性的結果。
• AKS算法並未“仰賴”任何未證明猜想。一個反例是确定性米勒检验：該算法可以在多項式時間內對所有輸入給出確定性結果，但其正確性卻基於尚未被證明的廣義黎曼猜想。

概念

AKS質數測試主要是基於以下定理：整數n (≥ 2)是質數，若且唯若

${\displaystyle (x+a)^{n}\equiv (x^{n}+a){\pmod {n}}}$

1

這個同餘多項式對所有與n互質的整數a均成立。 這個定理是費馬小定理的一般化，並且可以簡單的使用二項式定理跟二項式係數的這個特徵:

${\displaystyle {n \choose k}\equiv 0{\pmod {n}}}$ ，對任何 ${\displaystyle 0<k<n}$ ，若且唯若 n 是質數

來證明出此定理。

雖然說關係式 (1) 基本上構成了整個質數測試，但是驗證花費的時間卻是指數時間。因此，為了減少計算複雜度，AKS改為使用以下的同餘多項式：

${\displaystyle (x+a)^{n}\equiv (x^{n}+a){\pmod {x^{r}-1,n}}}$

2

這個多項式與存在多項式f與g，令:

${\displaystyle (x+a)^{n}-(x^{n}+a)=(x^{r}-1)g+nf}$

3

意義是等同的。

這個同餘式可以在多項式時間之內檢查完畢。這裡我們要注意所有的質數必定滿足此條件式（令g = 0則 (3) 等於 (1)，因此符合n必定是質數）。 然而，有一些合數也會滿足這個條件式。有關AKS正確性的證明包含了推導出存在一個夠小的r以及一個夠小的整數集合A，令如果此同餘式對所有A裡面的整數都滿足，則n必定為質數。

歷史以及運算時間

在上文引用的論文的第一版本中，作者們證明了算法的漸近時間為O${\displaystyle (\log ^{12}(n))}$。換言之，算法使用少於n的二進制數字長度的十二次方。但是，論文證明的時間上界卻過於寬鬆；事實上，一個被普遍相信的關於索菲熱爾曼質數分佈的假設如果為真，則會立即將最壞情況減至O${\displaystyle (\log ^{6}(n))}$。

在這一發現後的幾個月中，新的變體陸續出現（Lenstra 2002, Pomerance 2002, Berrizbeitia 2003, Cheng 2003, Bernstein 2003a/b, Lenstra和Pomerance 2003）並依次提高了算法的速度（以改進幅度為序）。由於這些變體的出現，Crandall和Papadopoulos在其科學論文“AKS-類質數測試的實現”（2003年三月發表）中將其稱為算法的“AKS-類”。

出於對這些變體和其他回复的回應，論文“質數屬於P”稍後被進行了更新，新版本包括了一個AKS算法的正規公式化表述和其正確性證明。（這一版本在数学年刊上發表。）雖然基本思想沒有變化，${\displaystyle r}$卻被採用了新方法進行選擇，而正確性證明也變得更加緊緻有序。與舊證明依賴於許多不同的方法不同，新版本幾乎只依賴於有限域上的分圓多項式的特徵。新版本同時也優化了時間複雜度的邊界到O${\displaystyle (\log ^{10.5}(n))}$。通過篩法獲得的其他結果可以將其進一步簡化到O${\displaystyle (\log ^{7.5}(n))}$。

在2005年，Carl Pomerance和H. W. Lenstra, Jr.展示了一個AKS的變體，可以在${\displaystyle O(\log ^{6}(n))}$次操作內完成測試（${\displaystyle n}$是被測試數）。對於原算法的${\displaystyle O(\log ^{12}(n))}$邊界而言，這是一個顯著的改進。^[2]

演算法

整個演算法的操作如下：^[1]

輸入：整數 n > 1

1. 若存在整數a > 0 且b > 1 ，令 n = a^b ；則輸出合數
2. 找出最小的 r 令 ord_r(n) > log²(n).
3. 若 對某些a ≤ r，1 < gcd(a,n) < n，輸出合數。(gcd是指最大公因數)。
4. 若 n ≤ r, 輸出質數。
5. 對 a = 1 到 ${\displaystyle \scriptstyle \lfloor \scriptstyle {\sqrt {\varphi (r)}}\log(n)\scriptstyle \rfloor }$的所有數，

   如果 (X+a)ⁿ≠ Xⁿ+a (mod X^r − 1,n), 輸出合數。

6. 輸出 質數。

這裡的 ord_r(n)是n mod r的阶。 另外，這裡的log 代表以二為底的對數，${\displaystyle \scriptstyle \varphi (r)}$則是r的歐拉函數。

下面說明若n是個質數，那麼算法總是會返回質數：由於n是質數，步驟1和3永遠不會返回合數。步驟5也不會返回合數，因為(2)對所有質數n為真。因此，算法一定會在步驟4或6返回質數。

對應地，如果n是合數，那麼算法一定返回合數：如果算法返回質數，那麼則一定是從步驟4或6返回。對於前者，因為n ≤ r， n必然有因子a ≤ r符合1 < gcd(a,n) < n，因此會返回合數。剩餘的可能性就是步驟6，在文章^[1]中，這種情況被證明不會發生，因為在步驟5中檢驗的多個等式可以確保輸出一定是合數。

例子：n = 31為質數

輸入：整數n  =  31 > 1。

1.   若存在整數a > 0 且b > 1 ，令 n  =  ab ；則輸出「合數」。
       for ( b = 2; b < =  log2(n); b +  +  ){
         a = n1/b;
         If ( a是整數 ) 輸出「合數」;
       }
       // a = n1/2...n1/4 = {5.568, 3.141, 2.360}，計算結果不是整數
   

2.   找出最小的 r 令 ordr(n) > log2(n)。
       nextR = True;
       r = 1;
       while ( nextR =  = True ) {
         r +  + ;
         nextR = False
         for ( k = 1;(!nextR) &&k ≤ log2(n); k +  +  ){
           nextR = (nk % r =  = 1 || nk % r =  = 0);
         }
       }
       // 計算結果為：r  =  29
   

3.   若 對某些a ≤ r，1 < gcd(a,n) < n，輸出「合數」。
       for ( a = r; a > 1; a-- ){
         If ( 1 < gcd(a,n) < n ) 輸出「合數」;
       }
        
       // gcd(29,31) = 1, gcd(28,31) = 1, ..., gcd(2,31) = 1，計算結果為找不到符合的a使得1 < gcd(a,n) < n為真
   

4.   若 n ≤ r, 輸出「質數」。
       If ( n ≤ r ) 輸出「質數」;
        
       // 31 > 29，計算結果n比r大
   

5.   對 a  =  1 到 ${\displaystyle \scriptstyle \lfloor \scriptstyle {\sqrt {\varphi (r)}}\log(n)\scriptstyle \rfloor }$的所有數，
        如果 (X + a)n≠ Xn + a (mod Xr − 1,n), 輸出「合數」。
        
       for ( a = 1; a ≤ ${\displaystyle \scriptstyle \lfloor \scriptstyle {\sqrt {\varphi (r)}}\log(n)\scriptstyle \rfloor }$, a +  +  )
         if ( ((X + a)n-(Xn + a)) % (Xr−1,n) ≠ 0 ) 輸出「合數」。
       }
        
       / *  *  * 
       (x + a)31 % (x29-1,31)
         = (((x + a)29 % (x29-1,31)) * (x + a)2 % 31) % (x29-1,31)
         = ((1 + a29 + 29a28x + (406 % 31)a27x2 + (3654 % 31)a26x3 + (23751 % 31)a25x4 + (118755 % 31)a24x5 + (475020 % 31)a23x6 + (1560780 % 31)a22x7 + (4292145 % 31)a21x8 + (10015005 % 31)a20x9 + (20030010 % 31)a19x10 + (34597290 % 31)a18x11 + (51895935 % 31)a17x12 + (67863915 % 31)a16x13 + (77558760 % 31)a15x14 + (77558760 % 31)a14x15 + (67863915 % 31)a13x16 + (51895935 % 31)a12x17 + (34597290 % 31)a11x18 + (20030010 % 31)a10x19 + (10015005 % 31)a9x20 + (4292145 % 31)a8x21 + (1560780 % 31)a7x22 + (475020 % 31)a6x23 + (118755 % 31)a5x24 + (23751 % 31)a4x25 + (3654 % 31)a3x26 + (406 % 31)a2x27 + 29ax28) * (a2 + 2ax + x2)) % (x29-1,31)
         = ((1 + a29 + 29a28x + 3a27x2 + 27a26x3 + 5a25x4 + 25a24x5 + 7a23x6 + 23a22x7 + 9a21x8 + 21a20x9 + 11a19x10 + 19a18x11 + 13a17x12 + 17a16x13 + 15a15x14 + 15a14x15 + 17a13x16 + 13a12x17 + 19a11x18 + 11a10x19 + 21a9x20 + 9a8x21 + 23a7x22 + 7a6x23 +  25a5x24 + 5a4x25 + 27a3x26 + 3a2x27 + 29ax28) * (a2 + 2ax + x2)) % (x29-1,31)
         = ((1 + 2 * 29 + 3) % 31)a2 + a31 + ((2 + 29) % 31)ax + ((29 + 2 * 1) % 31)a30x + x2 + ((3 + 2 * 29 + 1) % 31)a29x2 + ((27 + 2 * 3 + 29) % 31)a28x3 + ((5 + 2 * 27 + 3) % 31)a27x4 + ((25 + 2 * 5 + 27) % 31)a26x5 + ((7 + 2 * 25 + 5) % 31)a25x6 + ((23 + 2 * 7 + 25) % 31)a24x7 + ((9 + 2 * 23 + 7) % 31)a23x8 + ((21 + 2 * 9 + 23) % 31)a22x9 + ((11 + 2 * 21 + 9) % 31)a21x10 + ((19 + 2 * 11 + 21) % 31)a20x11 + ((13 + 2 * 19 + 11) % 31)a19x12 + ((17 + 2 * 13 + 19) % 31)a18x13 + ((15 + 2 * 17 + 13) % 31)a17x14 + ((15 + 2 * 15 + 17) % 31)a16x15 + ((17 + 2 * 15 + 15) % 31)a15x16 + ((13 + 2 * 17 + 15) % 31)a14x17 + ((19 + 2 * 13 + 17) % 31)a13x18 + ((11 + 2 * 19 + 13) % 31)a12x19 + ((21 + 2 * 11 + 19) % 31)a11x20 + ((9 + 2 * 21 + 11) % 31)a10x21 + ((23 + 2 * 9 + 21) % 31)a9x22 + ((7 + 2 * 23 + 9) % 31)a8x23 + ((25 + 2 * 7 + 23) % 31)a7x24 + ((5 + 2 * 25 + 7) % 31)a6x25 + ((27 + 2 * 5 + 25) % 31)a5x26 + ((3 + 2 * 27 + 5) % 31)a4x27 + ((29 + 2 * 3 + 27) % 31)a3x28
         = a31 + x2
        
       (x31 + a) % (x29-1,31) = a + x2
        
       (a31 + x2)-(a + x2) = a31-a
        
       ${\displaystyle {\sqrt {\varphi (r)}}\log _{2}(n)={\sqrt {28}}*\log _{2}(31)=26.215}$
        
       (131-1) % 31 = 0, (231-2) % 31 = 0, (331-3) % 31 = 0, ..., (2631-26) % 31 = 0，計算結果為找不到符合的a使得(X + a)n≠ Xn + a (mod Xr − 1,n)為真
        *  *  * /
   

6.   輸出「質數」。
       31必為質數。
   

註釋

1. Manindra Agrawal, Neeraj Kayal, Nitin Saxena, "PRIMES is in P （页面存档备份，存于互联网档案馆）", Annals of Mathematics 160 (2004), no. 2, pp. 781–793.
2. 亨德里克·倫斯特拉 and Carl Pomerance, "Primality Testing with Gaussian Periods （页面存档备份，存于互联网档案馆）", preliminary version July 20, 2005.

延伸閱讀

• Dietzfelbinger, Martin. Primality testing in polynomial time. From randomized algorithms to ``PRIMES is in P. Lecture Notes in Computer Science 3000. Berlin: 施普林格科学+商业媒体. 2004. ISBN 3-540-40344-2. Zbl 1058.11070. 

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. AKS Primality Test. MathWorld. 
• R. Crandall, Apple ACG, and J. Papadopoulos (March 18, 2003): On the implementation of AKS-class primality tests (PDF)
• Article by Borneman, containing photos and information about the three Indian scientists（页面存档备份，存于互联网档案馆） (PDF)
• Andrew Granville: It is easy to determine whether a given integer is prime（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The Prime Facts: From Euclid to AKS（页面存档备份，存于互联网档案馆）, by Scott Aaronson (PDF)
• The PRIMES is in P little FAQ（页面存档备份，存于互联网档案馆） by Anton Stiglic
• 2006 Gödel Prize Citation
• 2006 Fulkerson Prize Citation（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The AKS "PRIMES in P" Algorithm Resource（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Grime, Dr. James. Fool-Proof Test for Primes - Numberphile (video). 布雷迪·哈蘭. [2018-05-10]. （原始内容存档于2018-03-23）.  [the video describes the exponential time relation (1), which it calls AKS]