2的算術平方根

2的平方根
2的平方根
數表无理数
- - - - - -
命名
名稱2的算術平方根
2的主平方根
根号2
識別
種類無理數
符號
性質
連分數
以此為的多項式或函數
表示方式
1.414213562...
二进制1.011010100000100111100110
十进制1.414213562373095048801688
十六进制1.6A09E667F3BCC908B2FB1366

2的算術平方根,俗称“根号2”,记作,可能是最早被发现的无理数。相传毕达哥拉斯学派希帕索斯首先提出了“不是有理数”的命题:若一个直角三角形的两个直角边都是1,那么它的斜边长,无法用整数分数表示。

其最初65位為

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799OEIS數列A002193

是无理数的证明

人們發現了许多方法证明是无理数。以下是反證法的證明

常見的證明

  1. 假設是有理數,即有整數,使得
  2. 重寫成最簡分數,即互質,且
  3. 所以,即
  4. 因為必為偶数,故亦是偶数
  5. 為偶数(奇数平方不會是偶数)
  6. 所以必有一整數,使得
  7. 將(3)的式子代入(6):
  8. 化简得
  9. 因为是偶数,所以是偶数,亦是偶数
  10. 所以都是偶数,跟是最簡分數的假設矛盾
  11. 因為導出矛盾,所以(1)的假設錯誤,不是有理數,即是無理數

這個證明可推廣至證明任何非完全平方數正整數,其算術平方根為無理數。

另一個證明

另外一個是無理數的反證法證明較少為人所知,但證明方法也相當漂亮:

  1. 假設是有理數,便可以表示成最簡分數,其中, 為正整數
  2. 由於,所以
  3. 因為
  4. 所以
  5. 是比更簡的分數,與是最簡分數的假設矛盾

從一個直角邊為,斜邊為等腰直角三角形,可以用尺規作圖作出直角邊為,斜邊為的等腰直角三角形。這是古希臘幾何學家的作圖證明方法。

性质

2的算术平方根可以表示为以下的级数无穷乘积

2的算术平方根的连分数展开式为:

[註⁠ 1]

註釋

    註:

  1. ^ , 由觀察可知,即, 解方程,取正根,得, 因此

参见

外部链接

Read other articles:

Daniel W. Lee, Sr.Lee (kedua dari kiri) dengan Presiden Harry S. Truman (tengah) dan penerima Medal of Honor lainnya di upacara penyerahan medali mereka.Lahir(1919-06-23)23 Juni 1919Alma, GeorgiaMeninggal22 Januari 1985(1985-01-22) (umur 65)San Antonio, TexasTempat pemakamanRose Hill Cemetery Alma, GeorgiaPengabdianAmerika SerikatDinas/cabangAngkatan Darat Amerika SerikatPangkatKaptenKesatuanTroop A, 117th Cavalry Reconnaissance SquadronPerang/pertempuranPerang Dunia IIPerang KoreaPengha...

 

Bilanz Teilnehmende Rundfunkanstalt Erste Teilnahme 1958 Anzahl der Teilnahmen 62 (Stand 2023) Höchste Platzierung 1 (1974, 1984, 1991, 1999, 2012, 2015, 2023) Höchste Punktzahl 583 (2023) Niedrigste Punktzahl 0 (1963) Punkteschnitt (seit erstem Beitrag) 91,87 (Stand 2021) Punkteschnitt pro abstimmendem Land im 12-Punkte-System 3,60 (Stand 2021) Dieser Artikel beschäftigt sich mit der Geschichte Schwedens als Teilnehmer am Eurovision Song Contest. Inhaltsverzeichnis 1 Regelmäßigkeit der ...

 

Вальтер Хальштайн — президент першої Європейської комісії. Комісія Хальштайна — перша Європейська комісія, що пропрацювала 2 терміна з 7 січня 1958 року по 30 червня 1967 року. Головою комісії був німецький політик Вальтер Хальштайн. Зміст 1 Склад 1.1 Перша комісія 1.2 Друга

Vridsted Parochie van Denemarken Situering Bisdom Bisdom Viborg Gemeente Viborg Coördinaten 56°26'35,999NB, 9°0'27,000OL Algemeen Inwoners (2004) 690 Leden Volkskerk (2004) 644 Overig Kerken Vridsted Kirke Proosdij Viborg Domprovsti Pastoraat Vridsted-Fly Foto's Portaal    Denemarken Vridsted is een parochie van de Deense Volkskerk in de Deense gemeente Viborg. De parochie maakt deel uit van het bisdom Viborg en telt 644 kerkleden op een bevolking van 690 (2004). Tot 1970 was de ...

 

Consejo de Cuentas de Castilla y León Tipo órgano de control externo autonómicoCampo fiscalización de cuentas públicasFundación 2002Jurisdicción Castilla y LeónSede central Sede del Consejo de Cuentas de Castilla y León (Palencia, España)[editar datos en Wikidata] El Consejo de Cuentas de Castilla y León es un órgano de control externo autonómico dependiente de las Cortes de Castilla y León encargado de la fiscalización de la gestión económica, financiera y contable...

 

قاسم إيلي معلومات شخصية الميلاد سنة 1982 (العمر 40–41 سنة)  شافهاوزن  مواطنة سويسرا  الزوجة نورا إيلي  الحياة العملية المهنة عالم حاسوب  تعديل مصدري - تعديل   عبد العزيز قاسم إيلي (مواليد سنة 1982) هو عالم حاسوب سويسري اعتنق الإسلام. هو عضو مجلس إدارة المجلس المركز...

1896 Philadelphia PhilliesLeagueNational LeagueBallparkNational League ParkCityPhiladelphia, PennsylvaniaOwnersAl Reach, John RogersManagersBilly Nash ← 1895 Seasons 1897 → The 1896 Philadelphia Phillies did well at home, but had difficulty on the road during a season which kicked off with a pre-season tribute to former Phillies manager Harry Wright, who had died during the fall of 1895. Preseason 1896 Philadelphia Phillies (April 1896)Baseball pioneer and former Ph...

 

High-pitched Japanese transverse fue (flute) This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (April 2021) (Learn how and when to remove this template message) From left, 7-hole Uta-you Shinobue in B-flat (6-hon choshi) top binding 7-hole Uta-you Shinobue in B (7-hon choshi) black painted 7-hole Uta-you Shinobue in C (8-hon...

 

2015 Japanese anime series CharlottePromotional image featuring the main characters (from left to right): Yuu Otosaka, Jōjirō Takajō, Yusa Nishimori and Nao Tomori.Genre Comedy drama[1] supernatural[2] Created byJun Maeda MangaCharlotte The 4-koma: Seishun o Kakenukero!Written byJun MaedaIllustrated byHaruka KomowataPublished byASCII Media WorksMagazineDengeki G's ComicDemographicSeinenOriginal runMay 2015 – May 2017Volumes3 Anime television seriesDire...

American daily newspaper (founded 1851) This article is about the newspaper. For its owner, see The New York Times Company. For the song New York Times, see Back to Earth (Cat Stevens album). For other uses of NYT, see NYT (disambiguation). The New York TimesAll the News That's Fit to PrintFront page for March 26, 2018TypeDaily newspaperFormatBroadsheetOwner(s)The New York Times CompanyFounder(s)Henry Jarvis RaymondGeorge JonesPublisherA. G. Sulzberger[1]Editor-in-chiefJoseph Kahn[...

 

PalasaKecamatanNegara IndonesiaProvinsiSulawesi TengahKabupatenParigi MoutongPopulasi • Total- jiwaKode Kemendagri72.08.18 Kode BPS7208052 Luas- km²Desa/kelurahan11 desa Untuk tempat lain yang bernama sama, lihat Palasa. Kantor Camat Palasa Palasa adalah sebuah kecamatan di Kabupaten Parigi Moutong, Sulawesi Tengah, Indonesia. Geografi Keadaan tanah di Palasa terdiri atas daratan, perbukitan, dan pegunungan dengan ketinggian 1-500 m dpl. Perbatasan Utara Teluk Palasa dan Tor...

 

Обґрунтування добропорядного використання не вказано назву статті [?] Опис П'єта (фільм, 2012) Постер фільму П'єта (фільм, 2012) Джерело http://en.wikipedia.org/wiki/File:Pieta poster.jpg Автор Next Entertainment World Drafthouse Films Мета використання Замінність Обсяг використаного матеріалу Низька роздільніст...

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (أغسطس 2021) قانون حماية الطيور المهاجرة في 18 فبراير 1929 والمعروف أيضًا باسم قانون نوربيك أندرسن أنشأ لجنة حماية الطيور المهاجرة بالولايات المتحدة للنظر في أي مناطق من ال...

 

2014 plane crash in the Java Sea Indonesia AirAsia Flight 8501PK-AXC, the aircraft involved in the accident, photographed in April 2014AccidentDate28 December 2014 (2014-12-28)SummaryCrashed into the sea following loss of controlSiteKarimata Strait, Java Sea 3°37′23″S 109°42′43″E / 3.623°S 109.712°E / -3.623; 109.712 (AirAsia Flight 8501 debris field)[a]AircraftAircraft typeAirbus A320-216OperatorIndonesia AirAsiaIATA fli...

 

Hospital in Utah, United StatesGarfield Memorial HospitalIntermountain Healthcare/Garfield County, UtahGarfield Memorial Hospital sign, October 2017GeographyLocationPanguitch, Utah, United StatesCoordinates37°49′35″N 112°25′36″W / 37.82639°N 112.42667°W / 37.82639; -112.42667OrganizationCare systemPrivateServicesBeds41LinksWebsiteintermountainhealthcare.org/locations/garfield-memorial-hospital/ListsHospitals in Utah Garfield Memorial Hospital is a small hos...

La coordinación sanitaria es la suma de las acciones y de los esfuerzos de los servicios de atención clínica. En atención primaria de salud se considera que es una de sus 4 características básicas, junto con la accesibilidad, la integralidad y la longitudinalidad.[1]​ La coordinación del sistema sanitario de un país persigue la integración de la diversidad de las partes o subsistemas en el conjunto o sistema, evitando contradicciones y reduciendo disfunciones que, de subsistir,...

 

Zoo in Saint Paul, Minnesota, United States This article is about Como Zoo. For Como Park as a whole, see Como Park Zoo and Conservatory. This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Como Zoo – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2023) (Learn how and when to remove this template message) Co...

 

This article is about the KTM Intercity station. For the Singapore MRT station, see Tanah Merah MRT station. Tanah MerahKTM Intercity stationRailway track lines and an island platform at Tanah Merah railway stationGeneral informationLocationTanah Merah, Kelantan, MalaysiaCoordinates5°48′23″N 102°08′48″E / 5.80639°N 102.14667°E / 5.80639; 102.14667Owned byKeretapi Tanah MelayuLine(s)East Coast LinePlatforms2 island platformsTracks3ConstructionParkingUnknownH...

The eight districts of Tripura The Indian state of Tripura borders with Bangladesh and the Indian states of Assam and Mizoram. The third-smallest state in India and also a princely state till 1949, It covers an area of 10,491 square kilometres (4,051 sq mi). The area of modern Tripura was ruled for several centuries by the Manikya dynasty of the Twipra kingdom. It was a princely state during British rule, and joined the newly independent India. Ethnic strife between the indigenous p...

 

Japanese digital artist (born 1968) This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This biography of a living person needs additional citations for verification. Please help by adding reliable sources. Contentious material about living persons that is unsourced or poorly sourced must be removed immediately from the article and its talk page, especially if potentially libelous.Find source...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!