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高歐拉商數
高歐拉商數（highly totient number）k是有以下性質，大於1的正整數：使以下方程式有多個解
- φ(x) = k
其中φ是歐拉函數，而且若k用其他較小的整數代入時，解的個數都會比剛剛的個數要少。
例如方程式φ(x) = k，在k=1,2,3,4,5,6,7,8時，分別有2,3,0,4,0,4,0,5個解，φ(x) = 8有5個解，若代入小於8的數值，解都少於5個，因此8是高歐拉商數。
頭幾個高歐拉商數是：
1, 2, 4, 8, 12, 24, 48, 72, 144, 240, 432, 480, 576, 720, 1152, 1440 （OEIS數列A097942）.
分別使上述方程有1, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 17, 21, 31, 34, 37, 38, 49, 54及72個解。若將使φ(x) = k分別恰有0個解、1個解、2個解……的最小k值組成一個數列，則高歐拉商數會是此數列的一個子集[1]。例如8為高歐拉商數，φ(x) = 8有5個解，表示任何小於8的整數都無法使φ(x) = k有5個解，因此8是使φ(x) = k有5個解的最小k值。
若x的質因數分解為 ，其歐拉商數為以下的乘積：
因此，高歐拉商數和較小的整數相比，高歐拉商數可以表示為更多種以上式表示的乘積。
高歐拉商數的概念有點類似高合成數；1既是高合成數中唯一的奇數，也是高歐拉商數中唯一的奇數（其實1是歐拉函數值域中唯一的奇數）。而且高歐拉商數和高合成數都有無限多個，不過隨著數字的增加，要找到高歐拉商數也就越來困難，因為歐拉商數和質因數分解有關，數字越大，就越難進行質因數分解。
舉例
有五個整數（15, 16, 20, 24和30）的歐拉商數是8。比8小的整數中，沒有哪一個是五個整數的歐拉商數。因此8是高歐拉商數。
表
| n
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使 的k值（OEIS數列A032447）
|
使的k的個數（OEIS數列A014197）
|
| 0
|
|
0
|
| 1
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1, 2
|
2
|
| 2
|
3, 4, 6
|
3
|
| 3
|
|
0
|
| 4
|
5, 8, 10, 12
|
4
|
| 5
|
|
0
|
| 6
|
7, 9, 14, 18
|
4
|
| 7
|
|
0
|
| 8
|
15, 16, 20, 24, 30
|
5
|
| 9
|
|
0
|
| 10
|
11, 22
|
2
|
| 11
|
|
0
|
| 12
|
13, 21, 26, 28, 36, 42
|
6
|
| 13
|
|
0
|
| 14
|
|
0
|
| 15
|
|
0
|
| 16
|
17, 32, 34, 40, 48, 60
|
6
|
| 17
|
|
0
|
| 18
|
19, 27, 38, 54
|
4
|
| 19
|
|
0
|
| 20
|
25, 33, 44, 50, 66
|
5
|
| 21
|
|
0
|
| 22
|
23, 46
|
2
|
| 23
|
|
0
|
| 24
|
35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84, 90
|
10
|
| 25
|
|
0
|
| 26
|
|
0
|
| 27
|
|
0
|
| 28
|
29, 58
|
2
|
| 29
|
|
0
|
| 30
|
31, 62
|
2
|
| 31
|
|
0
|
| 32
|
51, 64, 68, 80, 96, 102, 120
|
7
|
| 33
|
|
0
|
| 34
|
|
0
|
| 35
|
|
0
|
| 36
|
37, 57, 63, 74, 76, 108, 114, 126
|
8
|
| 37
|
|
0
|
| 38
|
|
0
|
| 39
|
|
0
|
| 40
|
41, 55, 75, 82, 88, 100, 110, 132, 150
|
9
|
| 41
|
|
0
|
| 42
|
43, 49, 86, 98
|
4
|
| 43
|
|
0
|
| 44
|
69, 92, 138
|
3
|
| 45
|
|
0
|
| 46
|
47, 94
|
2
|
| 47
|
|
0
|
| 48
|
65, 104, 105, 112, 130, 140, 144, 156, 168, 180, 210
|
11
|
| 49
|
|
0
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| 50
|
|
0
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参考资料
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