门格海绵 门格海绵 （英語：Menger sponge 、英語：Menger universal curve ）是分形 的一种。它是一个通用曲线 ，因为它的拓扑维数 为一，且任何其它曲线 或图 都与门格海绵的某个子集同胚。它有时称为门格-谢尔宾斯基海绵 或谢尔宾斯基海绵 。它是康托尔集 和谢尔宾斯基地毯 在三维空间的推广。它首先由奥地利数学家卡尔·门格 在1926年描述，当时他正在研究拓扑维数的概念。
门格海绵的结构可以用以下方法形象化：
从一个正方体开始。（第一张图像）
把正方体的每一个面分成9个正方形。这将把正方体分成27个小正方体，像魔方 一样。
把每一面的中间的正方体去掉，把最中心的正方体也去掉，留下20个正方体（第二张图像）。
把每一个留下的小正方体都重复第1-3个步骤。 把以上的步骤重复无穷多次以后，得到的图形就是门格海绵。
门格海绵的每一个面都是谢尔宾斯基地毯 ；同时，门格海绵与原先立体的任何一条对角线的交集都是康托尔集 。
门格海绵是一个闭集 ；由于它也是有界的，根据海涅-博雷尔定理 ，它是一个紧集 。更进一步，门格海绵是不可数集 ，且具有勒贝格测度 0。
门格海绵的拓扑维数 是一，与任何曲线 一样。门格在1926年证明了，它是一个通用曲线 ，就是说任何一维曲线都与门格海绵的一个子集同胚 ，这里的曲线是指任何勒贝格覆盖维数 为一的紧 度量空间 。
门格海绵的豪斯多夫维 为(ln 20) / (ln 3)（大约2.726833）。
门格海绵的表面积无穷大。
正式地，门格海绵可以定义如下：
M
:=
⋂ ⋂ -->
n
∈ ∈ -->
N
M
n
{\displaystyle M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}}
其中M0 是单位立方体 ，且：
M
n
+
1
:=
{
(
x
,
y
,
z
)
∈ ∈ -->
R
3
:
∃ ∃ -->
i
,
j
,
k
∈ ∈ -->
{
0
,
1
,
2
}
:
(
3
x
− − -->
i
,
3
y
− − -->
j
,
3
z
− − -->
k
)
∈ ∈ -->
M
n
}
{\displaystyle M_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:&{\begin{matrix}\exists i,j,k\in \{0,1,2\}:(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n}\end{matrix}}\end{matrix}}\right\}}
Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces , (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals , Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
Karl Menger, Dimensionstheorie , (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.
.jpg)
.jpg)
