在理论物理 中，重整化群 （renormalization group，简称RG）是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。
标度上的变化称为“标度变换 标度不变性 共形不变性 自相似 有关。在重整化理论中，系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度，但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是原子 ，基本粒子 ，自旋 等。系统的变量是以系统组成之间的相互作用来描述。
基本想法就是耦合常数 依赖长度缩放或能量标度，重整化群帮助陈述耦合数量和能量标度的关系。默里·盖尔曼 和Francis E. Low于1954年提出了下面量子电动力学 的重整化群方程：[ 1]
g (μ ) = G −1 ( (μ /M )d G (g (M )) )
g (κ) = G −1 ( (κ/μ )d G (g (μ )) ) = G −1 ( (κ/M )d G (g (M )) )
费恩曼 、朱利安·施温格 、朝永振一郎 在1965年赢了物理学的诺贝尔奖 ，因为他们都把重整化以及正規化 等想法应用于量子电动力学 。[ 2] [ 3] [ 4]
利奥·卡达诺夫 在1966年推出块自旋的概念来解释重整化 。[ 5]
然后肯尼斯·威爾森 使用重整化群解决近藤问题 ，[ 6] 临界现象 和第二相變 。[ 7] [ 8] [ 9] 诺贝尔奖 。[ 10]
这一节介绍重整化群的一个简单图像：块自旋重整化群。这是由利奥·卡达诺夫 在1966年推导出来的。[ 5]
首先考虑一个固体，如图所示，原子以二维正方形形式排列。假设每一个原子只与它最邻近的原子有相互作用，且这一系统的温度为
T
{\displaystyle T}
J
{\displaystyle J}
H
(
T
,
J
)
{\displaystyle H(T,J)}
现在，我们把这个系统分为有着
2
× × -->
2
{\displaystyle 2\times 2}
T
{\displaystyle T}
J
{\displaystyle J}
原本这个系统内有较多的原子，现在，在问题重整化后，只有四分之一个原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次后得到
H
(
T
″
,
J
″
)
{\displaystyle H(T'',J'')}
不动点 上的数。
现在考虑一个具体的例子：铁磁 -顺磁 相变 中的伊辛模型 。在这个模型里，耦合常数
J
{\displaystyle J}
电子 自旋 平行时候的相互作用力。这一模型中有三个不动点：
T
=
0
{\displaystyle T=0}
J
→ → -->
∞ ∞ -->
{\displaystyle J\to \infty }
铁磁 相。
T
→ → -->
∞ ∞ -->
{\displaystyle T\to \infty }
J
→ → -->
0
{\displaystyle J\to 0}
T
=
T
c
{\displaystyle T=T_{c}}
J
=
J
c
{\displaystyle J=J_{c}}
居里相变 ，这个点称为临界点 。
假设有一个可以用状态变量
{
s
i
}
{\displaystyle \{s_{i}\}}
{
J
k
}
{\displaystyle \{J_{k}\}}
Z
{\displaystyle Z}
配分函数 、作用量 、哈密顿量 等等。
现在我们考虑状态变量上的块变换
{
s
i
}
→ → -->
{
s
~ ~ -->
i
}
{\displaystyle \{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}}
s
~ ~ -->
i
{\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}
s
i
{\displaystyle s_{i}}
Z
{\displaystyle Z}
s
~ ~ -->
i
{\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}
{
J
k
}
→ → -->
{
J
~ ~ -->
k
}
{\displaystyle \{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}}
可重整化 的。
最基本的物理理论都是可以重整化的，比如量子电动力学 ，量子色动力学 ，电弱相互作用等，但是引力 是无法重整化的。此外，凝聚态物理 中的大部分理论也是可以被重整化的，比如超导 ，超流 。
变量的变换可以由一个β函数 实现：
{
J
~ ~ -->
k
}
=
β β -->
(
{
J
k
}
)
{\displaystyle \{{\tilde {J}}_{k}\}=\beta (\{J_{k}\})}
J
{\displaystyle J}
由于重整化群变换是有损的，这一变换不可逆，所以这一变换实际上是数学上的半群。
参见Phi fourth theory
ϕ ϕ -->
4
{\displaystyle \phi ^{4}}
拉氏量 是
L
(
ϕ ϕ -->
)
=
m
2
2
ϕ ϕ -->
2
+
1
2
(
∂ ∂ -->
μ μ -->
ϕ ϕ -->
)
2
+
λ λ -->
4
!
ϕ ϕ -->
4
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )={m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}.}
配分函数 或泛函积分 是：
Z
=
∫ ∫ -->
D
ϕ ϕ -->
exp
-->
[
− − -->
∫ ∫ -->
d
(
d
)
x
(
m
2
2
ϕ ϕ -->
2
+
1
2
(
∂ ∂ -->
μ μ -->
ϕ ϕ -->
)
2
+
λ λ -->
4
!
ϕ ϕ -->
4
)
]
.
{\displaystyle Z=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)\right].}
通过重正化以及正规化
Λ Λ -->
{\displaystyle \Lambda }
[
D
ϕ ϕ -->
]
Λ Λ -->
=
∏ ∏ -->
|
p
|
<
Λ Λ -->
d
ϕ ϕ -->
(
p
)
{\displaystyle [D\phi ]_{\Lambda }=\prod _{|p|<\Lambda }d\phi (p)}
Z
=
∫ ∫ -->
[
D
ϕ ϕ -->
]
Λ Λ -->
exp
-->
[
− − -->
∫ ∫ -->
d
(
d
)
x
(
m
2
2
ϕ ϕ -->
2
+
1
2
(
∂ ∂ -->
μ μ -->
ϕ ϕ -->
)
2
+
λ λ -->
4
!
ϕ ϕ -->
4
)
]
.
{\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{\Lambda }\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)\right].}
若
0
<
b
<
1
{\displaystyle 0<b<1}
ϕ ϕ -->
^ ^ -->
(
p
)
=
{
ϕ ϕ -->
(
p
)
,
if
b
Λ Λ -->
⩽ ⩽ -->
|
p
|
<
Λ Λ -->
0
,
if
|
p
|
<
b
Λ Λ -->
{\displaystyle {\hat {\phi }}(p)={\begin{cases}\phi (p),&{\mbox{if }}b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda \\0,&{\mbox{if }}|p|<b\Lambda \end{cases}}}
ϕ ϕ -->
(
p
)
=
{
0
,
if
b
Λ Λ -->
⩽ ⩽ -->
|
p
|
<
Λ Λ -->
ϕ ϕ -->
(
p
)
,
if
|
p
|
<
b
Λ Λ -->
{\displaystyle \phi (p)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda \\\phi (p),&{\mbox{if }}|p|<b\Lambda \end{cases}}}
所以
Z
=
∫ ∫ -->
[
D
ϕ ϕ -->
]
b
Λ Λ -->
∫ ∫ -->
D
ϕ ϕ -->
^ ^ -->
exp
-->
[
− − -->
∫ ∫ -->
d
(
d
)
x
(
m
2
2
(
ϕ ϕ -->
+
ϕ ϕ -->
^ ^ -->
)
2
+
1
2
(
∂ ∂ -->
μ μ -->
ϕ ϕ -->
+
∂ ∂ -->
μ μ -->
ϕ ϕ -->
^ ^ -->
)
2
+
λ λ -->
4
!
(
ϕ ϕ -->
+
ϕ ϕ -->
^ ^ -->
)
4
)
]
.
{\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}(\phi +{\hat {\phi }})^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi +\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+{\lambda \over 4!}(\phi +{\hat {\phi }})^{4}\right)\right].}
介绍
ϕ ϕ -->
ϕ ϕ -->
^ ^ -->
{\displaystyle \phi {\hat {\phi }}}
Z
=
∫ ∫ -->
[
D
ϕ ϕ -->
]
b
Λ Λ -->
e
− − -->
∫ ∫ -->
d
(
d
)
x
L
(
ϕ ϕ -->
)
∫ ∫ -->
D
ϕ ϕ -->
^ ^ -->
exp
-->
[
− − -->
∫ ∫ -->
d
(
d
)
x
(
m
2
2
ϕ ϕ -->
^ ^ -->
2
+
1
2
(
∂ ∂ -->
μ μ -->
ϕ ϕ -->
^ ^ -->
)
2
+
λ λ -->
(
1
6
ϕ ϕ -->
3
ϕ ϕ -->
^ ^ -->
+
1
4
ϕ ϕ -->
2
ϕ ϕ -->
^ ^ -->
2
+
1
6
ϕ ϕ -->
ϕ ϕ -->
^ ^ -->
3
+
1
4
!
ϕ ϕ -->
^ ^ -->
4
)
)
]
.
{\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }e^{-\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}(\phi )}\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}{\hat {\phi }}^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+\lambda ({1 \over 6}\phi ^{3}{\hat {\phi }}+{1 \over 4}\phi ^{2}{\hat {\phi }}^{2}+{1 \over 6}\phi {\hat {\phi }}^{3}+{1 \over 4!}{\hat {\phi }}^{4})\right)\right].}
所以新的拉氏量是
L
eff
(
ϕ ϕ -->
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )}
Z
=
∫ ∫ -->
[
D
ϕ ϕ -->
]
b
Λ Λ -->
exp
-->
[
− − -->
∫ ∫ -->
d
(
d
)
x
L
eff
(
ϕ ϕ -->
)
]
,
{\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\exp {\left[-\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )\right]},}
L
eff
(
ϕ ϕ -->
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )}
L
(
ϕ ϕ -->
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )}
λ λ -->
,
ϕ ϕ -->
{\displaystyle \lambda ,\phi }
effective field theory
x
′
=
b
x
,
p
′
=
p
b
,
|
p
|
<
Λ Λ -->
{\displaystyle x'=bx,p'={p \over b},|p|<\Lambda }
∫ ∫ -->
d
(
d
)
x
L
eff
(
ϕ ϕ -->
)
=
∫ ∫ -->
d
(
d
)
x
′
b
− − -->
d
[
1
2
(
1
+
Δ Δ -->
Z
)
b
2
(
∂ ∂ -->
μ μ -->
′
ϕ ϕ -->
)
2
+
1
2
(
m
2
+
Δ Δ -->
m
2
)
ϕ ϕ -->
2
+
1
4
!
(
λ λ -->
+
Δ Δ -->
λ λ -->
)
ϕ ϕ -->
4
+
Δ Δ -->
B
b
4
(
∂ ∂ -->
μ μ -->
′
ϕ ϕ -->
)
4
+
Δ Δ -->
C
ϕ ϕ -->
6
+
.
.
.
]
{\displaystyle \int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'b^{-d}\left[{1 \over 2}(1+\Delta Z)b^{2}(\partial '_{\mu }\phi )^{2}+{1 \over 2}(m^{2}+\Delta m^{2})\phi ^{2}+{1 \over 4!}(\lambda +\Delta \lambda )\phi ^{4}+\Delta Bb^{4}(\partial '_{\mu }\phi )^{4}+\Delta C\phi ^{6}+...\right]}
假设
ϕ ϕ -->
′
=
[
b
(
2
− − -->
d
)
(
1
+
Δ Δ -->
Z
)
]
1
/
2
⋅ ⋅ -->
ϕ ϕ -->
{\displaystyle \phi '=[b^{(2-d)}(1+\Delta Z)]^{1/2}\cdot \phi }
m
′
2
=
(
1
+
Δ Δ -->
Z
)
− − -->
1
(
m
2
+
Δ Δ -->
m
2
)
b
− − -->
2
{\displaystyle m'^{2}=(1+\Delta Z)^{-1}(m^{2}+\Delta m^{2})b^{-2}}
λ λ -->
′
=
(
1
+
Δ Δ -->
Z
)
− − -->
2
(
λ λ -->
+
Δ Δ -->
λ λ -->
)
b
d
− − -->
4
{\displaystyle \lambda '=(1+\Delta Z)^{-2}(\lambda +\Delta \lambda )b^{d-4}}
B
′
=
(
1
+
Δ Δ -->
Z
)
− − -->
2
(
B
+
Δ Δ -->
B
)
b
d
{\displaystyle B'=(1+\Delta Z)^{-2}(B+\Delta B)b^{d}}
C
′
=
(
1
+
Δ Δ -->
Z
)
− − -->
3
(
C
+
Δ Δ -->
C
)
b
2
d
− − -->
6
{\displaystyle C'=(1+\Delta Z)^{-3}(C+\Delta C)b^{2d-6}}
所以
∫ ∫ -->
d
(
d
)
x
L
eff
(
ϕ ϕ -->
)
=
∫ ∫ -->
d
(
d
)
x
′
[
1
2
(
∂ ∂ -->
μ μ -->
′
ϕ ϕ -->
′
)
2
+
1
2
m
′
2
ϕ ϕ -->
′
2
+
1
4
!
λ λ -->
′
ϕ ϕ -->
4
+
Δ Δ -->
B
(
∂ ∂ -->
μ μ -->
′
ϕ ϕ -->
′
)
4
+
Δ Δ -->
C
′
ϕ ϕ -->
′
6
+
.
.
.
]
{\displaystyle \int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'\left[{1 \over 2}(\partial '_{\mu }\phi ')^{2}+{1 \over 2}m'^{2}\phi '^{2}+{1 \over 4!}\lambda '\phi ^{4}+\Delta B(\partial '_{\mu }\phi ')^{4}+\Delta C'\phi '^{6}+...\right]}
耦合常數 的变量为
Δ Δ -->
m
2
,
Δ Δ -->
Z
,
Δ Δ -->
λ λ -->
{\displaystyle \Delta m^{2},\Delta Z,\Delta \lambda }
耦合常數 的演进是动力系统 的临界点 ：
m
′
2
=
m
2
b
− − -->
2
,
λ λ -->
′
=
λ λ -->
b
d
− − -->
4
,
B
′
=
B
b
d
,
C
′
=
C
b
2
d
− − -->
6
{\displaystyle m'^{2}=m^{2}b^{-2},\lambda '=\lambda b^{d-4},B'=Bb^{d},C'=Cb^{2d-6}}
无关耦合（irrelevant）：耦合减少了
相关耦合（relevant）：耦合增加了
边缘耦合（marginal）：耦合不变 若
d
=
4
{\displaystyle d=4}
b
<
1
{\displaystyle b<1}
λ λ -->
{\displaystyle \lambda }
而且
ϕ ϕ -->
4
{\displaystyle \phi ^{4}}
米切爾·費根鮑姆 使用重整化群计算費根鮑姆常数，而且将重整化应用于分岔理論 。[ 11]
阿图尔·阿维拉 （巴西 数学家）也将重整化群应用于动力系统 、費根鮑姆常數 等[ 12] [ 13]
其他应用包括：
等
S. R. White (1992): Density matrix formulation for quantum renormalization groups, Phys. Rev. Lett. 69 , 2863. 有人说这是最成功的variational RG办法
N. Goldenfeld (1993): Lectures on phase transitions and the renormalization group. Addison-Wesley.
D. V. Shirkov (1999): Evolution of the Bogoliubov Renormalization Group. arXiv.org:hep-th/9909024 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）. A mathematical introduction and historical overview with a stress on group theory and the application in high-energy physics.B. Delamotte (2004): A hint of renormalization. American Journal of Physics, Vol. 72, No. 2, pp. 170\u2013184, February 2004 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）. A pedestrian introduction to renormalization and the renormalization group. For nonsubscribers see arXiv.org:hep-th/0212049 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）
H.J. Maris, L.P. Kadanoff (1978): Teaching the renormalization group. American Journal of Physics, June 1978, Volume 46, Issue 6, pp. 652-657 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）. A pedestrian introduction to the renormalization group as applied in condensed matter physics.
K. Huang 黃克孫 (2013): A Critical History of Renormalization. arXiv:1310.5533 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）
Shirkov, D. V. Fifty years of the renormalization group . CERN Courier. 2001-08-31 [2008-11-12 ] . （原始内容存档 于2008-12-03）.
T. D. Lee 李政道 ; Particle physics and introduction to field theory , Harwood academic publishers, 1981, [ISBN 3-7186-0033-1 ]. 是总结L. Ts. Adzhemyan, N.V.Antonov and A. N. Vasiliev; The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence ; Gordon and Breach, 1999. [ISBN 90-5699-145-0 ].
Vasil'ev, A. N.; The field theoretic renormalization group in critical behavior theory and stochastic dynamics ; Chapman & Hall/CRC, 2004. [ISBN 9780415310024 ] (Self-contained treatment of renormalization group applications with complete computations);
Zinn-Justin, Jean; Quantum field theory and critical phenomena , Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 (a very thorough presentation of both topics);
The same author: Renormalization and renormalization group: From the discovery of UV divergences to the concept of effective field theories , in: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (eds), Proceedings of the NATO ASI on Quantum Field Theory: Perspective and Prospective , June 15–26, 1998, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999) [ISBN ]. Full text available in PostScript 页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）.
Kleinert, H. and Schulte Frohlinde, V; Critical Properties of φ4 -Theories , World Scientific (Singapore, 2001) ; Paperback ISBN 981-02-4658-7 . Full text available in PDF （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）.
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![{\displaystyle Z=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf5b0a44242d0390e000ec8cb03a3141505f17d4)
![{\displaystyle [D\phi ]_{\Lambda }=\prod _{|p|<\Lambda }d\phi (p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a37068d4f475a2512c5c730d7c6f986370a2e4e8)
![{\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{\Lambda }\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c436d2d43f00282117de0bcfb1316055a0b5daf0)
![{\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}(\phi +{\hat {\phi }})^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi +\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+{\lambda \over 4!}(\phi +{\hat {\phi }})^{4}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccbcfc62c1358b80c59c15367913b1244ace5f91)
![{\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }e^{-\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}(\phi )}\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}{\hat {\phi }}^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+\lambda ({1 \over 6}\phi ^{3}{\hat {\phi }}+{1 \over 4}\phi ^{2}{\hat {\phi }}^{2}+{1 \over 6}\phi {\hat {\phi }}^{3}+{1 \over 4!}{\hat {\phi }}^{4})\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e390535b8622ac93c36a786101d5b274857c6a7f)
![{\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\exp {\left[-\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )\right]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6ee83187a9962f87df20382414bbd38691dba71)
![{\displaystyle \int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'b^{-d}\left[{1 \over 2}(1+\Delta Z)b^{2}(\partial '_{\mu }\phi )^{2}+{1 \over 2}(m^{2}+\Delta m^{2})\phi ^{2}+{1 \over 4!}(\lambda +\Delta \lambda )\phi ^{4}+\Delta Bb^{4}(\partial '_{\mu }\phi )^{4}+\Delta C\phi ^{6}+...\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfaf755861b049ced3a647a19f53737bc8625941)
![{\displaystyle \phi '=[b^{(2-d)}(1+\Delta Z)]^{1/2}\cdot \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde99b50f1aaa38c5ef87c0567bb72f183f7ca0a)
![{\displaystyle \int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'\left[{1 \over 2}(\partial '_{\mu }\phi ')^{2}+{1 \over 2}m'^{2}\phi '^{2}+{1 \over 4!}\lambda '\phi ^{4}+\Delta B(\partial '_{\mu }\phi ')^{4}+\Delta C'\phi '^{6}+...\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc34cb2db93b855b7e647185a9a6f876cce2b92)
