潤德勒座標

相對論中，「雙曲加速參考系」^{[H 1][1]}座標構成了平直閔考斯基時空中重要且有用的座標卡系統。^[2][3][4][5]狹義相對論中，一均勻加速的物體進行所謂的雙曲運動（英语：hyperbolic motion (relativity)）；在其固有參考系中，該物體是靜止的。這現象可與均勻重力場相應。關於平直時空中之加速度的一般性論述，參見狹義相對論中的加速度。

本文中，光速定義為c = 1，慣性座標系為(X,Y,Z,T)，雙曲座標系則為(x,y,z,t)。這類雙曲座標系可主要分為兩大類，與加速觀察者位置有關：若觀察者時間T = 0時位在X = 1/α（其中α為常數值的固有加速度，由共動的加速規測得），則雙曲座標系稱為「潤德勒座標」（或譯林德勒座標；英語：Rindler coordinates），與之相應的是「潤德勒度規」（Rindler metric）^[6]若觀察者時間T = 0時位在X = 0，則雙曲座標系有時稱為「穆勒座標」（Møller coordinates）^[1]或「寇特勒-穆勒座標」（Kottler-Møller coordinates），與之相應的是「寇特勒-穆勒度規」（Kottler-Møller metric）。^[7]透過採用雷達座標^[8]，可得到一常與雙曲運動觀察者有關的替代座標卡（Chart）。雷達座標有時也稱作「拉斯座標」（Lass coordinates）^[9][10] 寇特勒-穆勒座標以及拉斯座標也常標示為潤德勒座標。^[11]

關於潤德勒座標的歷史，這樣的座標系在狹義相對論發表不久後即被引入，在研究雙曲運動此一概念的同時也被研究：與平直閔考斯基時空的關係如阿爾伯特·愛因斯坦（1907年，1912年）^{[H 2]}、馬克斯·玻恩（1909年）^{[H 1]}、阿諾·索末菲（1910年）^{[H 3]}、馬克斯·馮·勞厄（1911年）^{[H 4]}、亨德里克·勞侖茲（1913年）^{[H 5]}、弗里德里希·寇特勒（英语：Friedrich Kottler）（1914年）^{[H 6]}、沃夫岡·包立（1921年）^{[H 7]}、Karl Bollert（1922年）^{[H 8]}、Stjepan Mohorovičić（1922年）^{[H 9]}、喬治·勒梅特（1924年）^{[H 10]}、愛因斯坦與納森·羅森（1935年）^{[H 2]}、Christian Møller（1943年，1952年）^{[H 11]}、Fritz Rohrlich（1963年）^[12]、哈利·拉斯（英语：Harry Lass）（1963年）^[13]；與廣義相對論中平直或彎曲時空的關聯性：沃夫岡·潤德勒（1960年，1966年）^[14][15]。

潤德勒參考系的特徵

潤德勒圖卡（Rindler chart），方程式(1a)中${\displaystyle \alpha =0.5}$，繪於閔考斯基圖上。虛線為潤德勒視界（Rindler horizons）。

以沿${\displaystyle X}$-direction方向、常數值固有加速度${\displaystyle \alpha }$進行雙曲運動的物體，其世界線為原時${\displaystyle \tau }$以及快度${\displaystyle \alpha \tau }$的函數，關係式為：^[16]

${\displaystyle T=x\sinh(\alpha \tau ),\quad X=x\cosh(\alpha \tau )}$。

其中${\displaystyle x=1/\alpha }$為常數，${\displaystyle \alpha \tau }$為變數。這樣的世界線形態為雙曲線${\displaystyle X^{2}-T^{2}=x^{2}}$。阿諾·索末菲^{[H 3][17]}展示了此方程組可重新表示為：${\displaystyle x}$為變數，而${\displaystyle \alpha \tau }$為常數；如此可表現出共動觀察者所測量到雙曲運動物體的「靜止型態」。設定${\displaystyle \tau =t}$，也就是採用了觀察者的原時作為整體雙曲加速參考系的時間，則慣性座標與雙曲座標之間的轉換式變為：^[6][9]

${\displaystyle T=x\sinh(\alpha t),\quad X=x\cosh(\alpha t),\quad Y=y,\quad Z=z}$

1a

逆轉換式為：

${\displaystyle t={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} \left({\frac {T}{X}}\right),\quad x={\sqrt {X^{2}-T^{2}}},\quad y=Y,\quad z=Z}$

對其微分並代入閔考斯基度規${\displaystyle ds^{2}=-dT^{2}+dX^{2}+dY^{2}+dZ^{2}}$，則雙曲加速系的度規張量為

${\displaystyle ds^{2}=-(\alpha x)^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

1b

各種轉換式

潤德勒觀察者

參考文獻

1. 引用错误：没有为名为born的参考文献提供内容
2. 引用错误：没有为名为Einstein的参考文献提供内容
3. 引用错误：没有为名为Sommerfeld的参考文献提供内容
4. 引用错误：没有为名为Laue的参考文献提供内容
5. 引用错误：没有为名为Lorentz的参考文献提供内容
6. 引用错误：没有为名为Kottler的参考文献提供内容
7. 引用错误：没有为名为Pauli的参考文献提供内容
8. 引用错误：没有为名为Bollert的参考文献提供内容
9. 引用错误：没有为名为Mohoro的参考文献提供内容
10. 引用错误：没有为名为Lemaitre的参考文献提供内容
11. 引用错误：没有为名为Møller的参考文献提供内容

1. Øyvind Grøn. Lecture Notes on the General Theory of Relativity 772. Springer. 2010: 86–91. ISBN 0387881344.  |journal=被忽略 (帮助)
2. Misner, C. W.; Thorne, K. S.; Wheeler, J. A. Gravitation. Freeman. 1973. ISBN 0716703440. 
3. Kopeikin,S., Efroimsky, M., Kaplan, G. Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System. John Wiley & Sons. 2011. ISBN 3527408568. 
4. Padmanabhan, T. Gravitation: Foundations and Frontiers. Cambridge University Press. 2010. ISBN 1139485393. 
5. N. D. Birrell, P. C. W. Davies. Quantum Fields in Curved Space. Cambridge University Press. 1982. ISBN 1107392810.  |journal=被忽略 (帮助)
6. Leonard Susskind, James Lindesay. An Introduction to Black Holes, Information and the String Theory Revolution: The Holographic Universe. World Scientific. 2005: 8-10. ISBN 9812561315. 
7. Muñoz, Gerardo; Jones, Preston. The equivalence principle, uniformly accelerated reference frames, and the uniform gravitational field. American Journal of Physics. 2010, 78 (4): 377–383. arXiv:1003.3022 . doi:10.1119/1.3272719. 
8. Minguzzi, E. The Minkowski metric in non-inertial observer radar coordinates. Americam Journal of Physics. 2005, 73: 1117–1121. arXiv:physics/0412024 . doi:10.1119/1.2060716. 
9. David Tilbrook. General Coordinatisations of the Flat Space-Time of Constant Proper-acceleration. Australian Journal of Physics. 1997, 50 (5): 851–868. doi:10.1071/P96111. 
10. Jones, Preston; Wanex, Lucas F. The Clock Paradox in a Static Homogeneous Gravitational Field. Foundations of Physics Letters. 2006, 19 (1): 75–85. arXiv:physics/0604025 . doi:10.1007/s10702-006-1850-3. 
11. 舉例而言，Birrill & Davies (1982), pp. 110-111或Padmanabhan (2010), p. 126將方程式(2g, 2h)標示為潤德勒座標或潤德勒參考系；Tilbrook (1997) pp. 864-864 or Jones & Wanex (2006)將方程式(2a, 2b)標示為潤德勒座標。
12. Rohrlich, Fritz. The principle of equivalence. Annals of Physics. 1963, 22 (2): 169–191. doi:10.1016/0003-4916(63)90051-4. 
13. Harry Lass. Accelerating Frames of Reference and the Clock Paradox. American Journal of Physics. 1963, 31 (4): 274–276. doi:10.1119/1.1969430. 
14. Rindler, W. Hyperbolic Motion in Curved Space Time. Physical Review. 1960, 119 (6): 2082–2089. doi:10.1103/PhysRev.119.2082. 
15. Rindler, W. Kruskal Space and the Uniformly Accelerated Frame. American Journal of Physics. 1966, 34 (12): 1174–1178. doi:10.1119/1.1972547. 
16. Pauli, Wolfgang, Die Relativitätstheorie, Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften, 1921, 5 (2): 539–776 
    In English: Pauli, W. Theory of Relativity 165. Dover Publications. 1981 [1921]. ISBN 0-486-64152-X.  |journal=被忽略 (帮助)
17. von Laue, M. Die Relativitätstheorie, Band 1 fourth edition of "Das Relativitätsprinzip”. Vieweg. 1921. ; First edition 1911, second expanded edition 1913, third expanded edition 1919.

引用错误：在<references>标签中name属性为“Møller”的参考文献没有在文中使用
引用错误：在<references>标签中name属性为“Desloge”的参考文献没有在文中使用
引用错误：在<references>标签中name属性为“Dolby”的参考文献没有在文中使用
引用错误：在<references>标签中name属性为“Pauri”的参考文献没有在文中使用
引用错误：在<references>标签中name属性为“Koks”的参考文献没有在文中使用
引用错误：在<references>标签中name属性为“Blum”的参考文献没有在文中使用