在解析几何和微分学中，曲线的渐近线（英語：asymptote[註 1]）是一条使得当 x {\displaystyle x} 或 y {\displaystyle y} 坐标之一或两者趋于无穷大时，曲线与该线之间的距离接近零的线。在射影几何和相关上下文中，曲线的渐近线是在无穷大点处与曲线相切的线。
渐近线分为三种类型：水平、垂直和倾斜。对于由函数 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 的图给出的曲线，水平渐近线是水平线，函数的图随着 x {\displaystyle x} 趋于 + ∞ ∞ --> {\displaystyle +\infty } 或 − − --> ∞ ∞ --> {\displaystyle -\infty } 趋近于水平线。垂直渐近线是垂直线，函数在该垂直线附近无限增长。斜渐近线的斜率非零但有限，因此当 x {\displaystyle x} 趋于 + ∞ ∞ --> {\displaystyle +\infty } 或 − − --> ∞ ∞ --> {\displaystyle -\infty } 时，函数的图接近该斜率。
更一般地说，如果两条曲线之间的距离趋于无穷大，则两条曲线之间的距离趋向于零，则一条曲线是另一条曲线的曲线渐近线，尽管术语“渐近线”本身通常是为线性渐近线保留的。
渐近线传达有关大曲线特性的信息，确定函数的渐近线是绘制函数图的重要步骤。从广义上讲，对功能渐近线的研究是渐近分析主题的一部分。当任意曲线上一点 M {\displaystyle M} 沿曲线无限远离原点时，如果 M {\displaystyle M} 到一条直线（或另外一条曲线）的距离无限趋近于零，那么这条直线（曲线）称为这条曲线的渐近线。數學上的定義則是：若函數 y = f ( x ) {\displaystyle y=f\left(x\right)} 的圖形收斂，則漸近線為 y = lim x → → --> ∞ ∞ --> f ( x ) {\displaystyle y=\lim _{x\to \infty }f\left(x\right)} 。
例如，直线 y = b a x {\displaystyle y={\frac {b}{a}}x} 是双曲线 x 2 a 2 − − --> y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} 的渐近线，因为双曲线上的点 M {\displaystyle M} 到直线 y = b a x {\displaystyle y={\frac {b}{a}}x} 的距离 M Q < M N {\displaystyle MQ<MN} ；当 M N {\displaystyle MN} 无限趋近于0时， M Q {\displaystyle MQ} 也无限趋近于0。所以按照定义，直线 y = b a x {\displaystyle y={\frac {b}{a}}x} 是该双曲线的渐近线。同理，直线 y = − − --> b a x {\displaystyle y=-{\frac {b}{a}}x} 也是该双曲线的渐近线。
对于 F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F\left(x,y\right)=0} 来说，如果当 x → → --> a {\displaystyle x\rightarrow a} 时，有 y → → --> ± ± --> ∞ ∞ --> {\displaystyle y\rightarrow \pm \infty } （左右極限不一定相等），就把 x = a {\displaystyle x=a} 叫做 F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F\left(x,y\right)=0} 的垂直渐近线；如果当 x → → --> ∞ ∞ --> {\displaystyle x\rightarrow \infty } 时，有 y → → --> b {\displaystyle y\rightarrow b} ，就把 y = b {\displaystyle y=b} 叫做 F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F\left(x,y\right)=0} 的水平渐近线。例如， y = 3 {\displaystyle y=3} 是曲线 x y = 3 x + 2 {\displaystyle xy=3x+2} 的水平渐近线。
求渐近线，可以依据以下结论：
若极限 lim x → → --> ∞ ∞ --> f ( x ) x = a {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=a} 存在，且极限 lim x → → --> ∞ ∞ --> [ f ( x ) − − --> a x ] = b {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=b} 也存在，那么曲线 y = f ( x ) {\displaystyle y=f\left(x\right)} 具有渐近线 y = a x + b {\displaystyle y=ax+b} 。
例：求 y = x 2 1 + x {\displaystyle y={\frac {x^{2}}{1+x}}} 的渐近线。
解：(1) x = − − --> 1 {\displaystyle x=-1} 为其垂直渐近线。
(2) lim x → → --> ∞ ∞ --> f ( x ) x = lim x → → --> ∞ ∞ --> x 1 + x {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f\left(x\right)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{1+x}}} ，即 a = 1 {\displaystyle a=1} ；
lim x → → --> ∞ ∞ --> [ f ( x ) − − --> a x ] = lim x → → --> ∞ ∞ --> − − --> x 1 + x = − − --> 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=\lim _{x\to \infty }{\frac {-x}{1+x}}=-1} ，即 b = − − --> 1 {\displaystyle b=-1} ；
所以 y = x − − --> 1 {\displaystyle y=x-1} 也是其渐近线。
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![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53bba331e21cd54a43a1c4335052d93d32efd9ba)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=\lim _{x\to \infty }{\frac {-x}{1+x}}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b337f0e37bd850c5e93bff69a795e39d83216c09)
